自动控制理论第五章

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自动控制理论_第五章参考教材 绪论 主要参考资料 第一章 自动控制系统绪论 第二章 自动控制系统的数学模型 第三章 自动控制系统的时域分析 第四章 根轨迹法 第五章 频率法分析 第六章 控制系统的综合校正 第七章 非线性控制系统分析 第八章 线性离散控制系统

第五章 控制系统的频率法分析第一节 频率特性的基本概念 第二节 极坐标图 第三节 对数坐标图 第四节 系统稳定性分析 第五节 闭环系统频率特性 第六节 闭环频率特性与时域性能分析 第七节 系统传递函数的实验确定法 本章小节、重点和练习题

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第五章

频率响应法

频率响应法是二十世纪三十年代发展起来的一种经典工程实用方法, 是一种利用频率特性进行控制系统分析的图解方法,可方便地用于控制工 程中的系统分析与设计。频率法用于分析和设计系统有如下优点： (1)不必求解系统的特征根，采用较为简单的图解方法就可研究系统 的稳定性。 (2)系统的频率特性可用实验方法测出。 (3)用频率法设计系统，可以忽略噪声的影响。

本章主要讨论频率响应法的基本概念、典型环节及系统频率特性的求 法、频率特性与时域响应的关系和闭环系统的频率特性等。

第一节 频率特性的基本概念从讨论系统在正弦信号作用下的稳态响应出发，把握频率特性的基本 概念。

一、对正弦输入信号的稳态输出设r(t)为正弦信号，作用于线性定常系统 (s) ,输出响应为c(t)。第一张 上一张 下一张 最后一张

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r(t)= Rsin( t)

拉氏变换为：

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利用拉氏变换法可求出系统响应的稳态值为：

可见，系统输入为正弦信号时，输出的稳态响应(正弦稳态响应)也 是一个正弦信号。其频率与输入信号相同，幅值等于输入信号的幅值R与 | (j )|的乘积；而初相角则等于输入信号的初相角与系统相角的叠加，相 角的变化与输入正弦信号角频率 有关。 【例5-1】某单位反馈控制系统得开环传递函数为G(s)H(s)=1/(s+1),试求输 入信号r(t)=sin t时系统的稳态输出解 首先求出系统的闭环传递函数 (s) ,令s=j 得

如 =2,则 (j2)=0.35<-45o

则系统稳态输出为：c(t)=0.35sin(2t-45o)第一张 上一张 下一张 最后一张

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二、频率特性的定义1、频率响应 在正弦输入信号作用下，系统输出的稳态值称为系统的频率响应,记为c(t) 2、频率特性 系统频率响应c(t)与输入正弦信号r(t)的复数比称为系统的频率特性，是随输入 正弦信号角频率 变化而变化的复变函数，记为 (j ),即

式中,A( )是稳态输出信号的幅值与输入信号的幅值之比

,称为幅频特性。 ( )是稳态输出信号的相角与输入信号相角之差(相移),称为相频特性。 (j ) 则称为幅相频率特性。 (j ) 的幅值和相位均随输入正弦信号角频率 的变化而变化。 在系统闭环传递函数 (s)中，令s= j ,即可得到系统的频率特性。有开环频

率特性与闭环频率特性之分。第一张 上一张 下一张 最后一张

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三、频率特性表示法频率特性可用解析式或图形来表示。(一)解析表示 系统开环频率特性可用以下解析式表示 幅频-相频形式 ： 指数形式(极坐标) : 三角函数形式：

实频-虚频形式： (二)系统频率特性常用的图解形式1. 极坐标图——奈奎斯特图 (Nyqusit) 系统频率特性为幅频-相频形式 当 在0~ 变化时,相量G(j )H (j )的幅值和相角随 而变化,与此对应 的相量G(j ) H (j )的端点在复平面 G(j )H (j )上的运动轨迹就称为幅相 频率特性或 Nyqusit曲线。画有 Nyqusit曲线的坐标图称为极坐标图或 Nyqusit图。第一张 上一张 下一张 最后一张

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第06 页 【例5-2】绘制G(s)H(s)=1/(Ts+1)系统的幅相频率特性图。 解 写出频率特性的表达式

可以证明，G(j )H(j )的实部和虚部满足下式：

上式表明，系统幅相频率特性曲 线是G(j )H(j )平面上以(1/2,0j)为 圆心， 1/2为半径的下半圆(因相角 总小于零)。 绘制出的幅相频率特性曲线如右 图所示。第一张 上一张 下一张 最后一张

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第07 页 2. 对数坐标图—伯德图(Bode) 如将系统频率特性G(j ) 的幅值和相角分别绘在半对数坐标图上,分别 得到对数幅频特性曲线(纵轴：对幅值取分贝数后进行分度；横轴：对频 率取以10为底的对数后进行分度)和相频特性曲线(纵轴：对相角进行线 性分度；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度),合称为伯德图 (Bode图)。 对数幅频特性记为 单位为分贝(dB) 单位为弧度(rad)

对数相频特性记为

【例5-3】绘制G(s)H(s)=1/(Ts+1)系统的对数幅频和对数相频特性曲线 (Bode图)。 解 由 得第一张 上一张 下一张 最后一张

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当 从0变化到 时，分别绘制Bode图如下：工程实践中，一般采用分 段直线(渐近线)来绘制系统 对数幅频特性曲线L( ),用取有 限个频率点计算相角并描绘曲 线的方法绘制 ( )曲线 。必要 时在一些特殊频段进行修正。 例如前例中,当 《1/T时,L( )近似为平行于横轴，高度为0dB的 一条直线；当 》1/T时,L( )=20lg T,是 一条频率每增加10倍，幅值就下降 20dB的直线。该直线的斜率记为 -20dB/dec。

=1/T时，前述两条直线相交， =1/T称为转折频率。用上述近似方 法产生

的最大误差为-3.03dB,发生在转折频率处。第一张 上一张 下一张 最后一张

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第二节一、典型环节的极坐标图1.比例环节 角为零。 2.积分环节 为-90o。 3.微分环节 为90o。

极坐标图

本节主要讨论典型环节以及一般开环系统的极坐标(Nyqusit)图的画法。

幅相频率特性是一个与频率无关的常量,幅值为K(实轴上一点),相 幅相频率特性与负虚轴重合, 由0到 变化时,幅值由 到零,相角始终 幅相频率特性与正虚轴重合, 由0到 变化时,幅值由0到 ,相角始终

4.惯性环节 幅相频率特性为一个下半圆,当 由0到 变化时,幅相特性起于实 轴上K点，终止于坐标原点。 5.一阶微分环节 幅相频率特性是一条平行于正虚轴的射线,当 由0到 变化时， 幅相频率特性起于 1 0点指向 90o。 6.振荡环节 幅相频率特性图为一不规则的圆弧。当 由0到 变化时，频率特性 起于正实轴上(1,0j)点，终止于坐标原点。圆弧线随 由1到0时幅值变大，当 =1/T= n时，交虚轴于1/2 处。第一张 上一张 下一张 最后一张

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第10页7.二阶微分环节 幅相频率特性为起于实轴上1 0o点， 由0到 变化时，频率 特性向左上方延伸指向 180o处。8.滞后(延迟)环节 幅相频率特性为圆心在坐标原点 、半径为1的单位圆。当 由0到 变化时，特性曲线由1 0o点顺时针方向旋转，相角(为负值)不断增加 而幅值恒为1。 表5-1给出了典型环节及其极坐标图。

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