考研资料——高等数学公式总结

一。函数，极限，连续

1． 极限的四则运算规则：

lim f(x)=A, lim g(x)=B(x x0)

lim [f(x) g(x)]=lim f(x) lim g(x)=A B

lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB

lim f(x)/g(x)=lim f(x)/lim g(x)=A/B (B 0)

2. 常用的等价公式

x 0 sinx x, arcsinx x, tanx x, arctanx x, ln(1+x) x

e^x-1 x, 1-cosx (1/2)x^2, (1+x)^(1/n)-1 x/n

3.求极限的两个重要公式。

（1）lim sinx/x(x 0)=1 (2)lim (1+x)^(1/x)[x 0]=e

4．几个常用的极限

(n )lim a(a 0)=1 (x ) lim arctanx= /2

(x 0 )lim x^x=1 (x )lim arccotx=0或

（n ）lim (a^n) (n^n) 0 (n )lim n!/(lnn)=

二．导数与微分（见精华区《常见公式一》）

补充高阶导数的公式。

(1)(a^x)(n) a^x(lna)^n(a 0)

(2)sin(kx)(n) k^nsin(kx n* /2)

(3)cos(kx)(n) k^ncos(kx n* /2)

(4)(x^m)(n) m(m 1)....(m n 1)x^(m n)

(5)(lnx)(n) ( 1)^(n 1)[(n 1)!/(x^n)]

n

(6)莱布尼兹公式：(uv)(n) c(i,n)u(i)v(n i)

i 0

2．曲线y f(x)在点(x,y)处的曲率k |y''|/(1 y'^2)^(3/2)

曲率半径 1/k

三．不定积分（见精华区《常见公式二》）

四．定积分及广义积分

1．定积分的性质与定理

bbb

[f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx

aaa

bb

kf(x)dx k f(x)dx(k为常数)

aa

bcb

f(x)dx f(x)dx f(x)dx

aac

bb

定积分比较定理 f(x) g(x),x [a,b],则f(x)dx g(x)dx

aa

m f(x) M,x [a,b]其中m,M为常数，则

估值定理b

m(b a) f(x)dx M(b a)

a

积分中值定理：

b

若f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少 一个点 ，使 f(x)dx f( )(b a)

a

/2 /2

2． sin^n(x)dx (n 1)*(n 3)....2*1/n*(n 2)*...3*1(当n为奇数)00cos^nxdx (n 1)*(n 3)....1* /n*(n 2)....2*2(当n为偶数)

五．中值定理。

1。洛尔定理

设函数f(x)满足在[a,b]上连续，在开区间(a,b)可导，且f(a) f(b)，则在(a,b)内至少存在一点 ，使f'( ) 0

2。拉格浪日定理

f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)可导，则在(a,b)内至少存在一个 使 f(b) f(a) f'( )(b a)

3．柯西中值定理

f(x),g(x)满足在[a,b]连续，在(a,b)可导，且g(x) 0,则

在(a,b)内至少存在一个 ，使[f(b) f(a)]/[g(b) g(a)] f'( )/g'( )

4． 台劳公式

f(x) f(0) f'(0)x 1/2!f''(0)x^2 .... 1/n!f^(n)(0)x^n Rn(x)

5.五种常见函数的台劳展开

(1)e^x 1 x 1/2!x^2 ..... 1/n!x^n 1/(n 1)!x^(n 1)e^

（2）sinx x 1/3!x^3 ... 1/n!(x^n)sin(n /2) o(x^n)

（3）cosx 1 1/2!x^2 .... 1/n!(x^n)cos(n /2) o(x^n)

1 x) x 1/2*x^2 1/3*x^3 .... ( 1)^(n 1)1/n(x^n) o(x^n) (4) ln(

(5) (1 x)^m 1 mx m*(m 1)/2!(x^2) ... m(m 1)...(m n 1)/n!(x^n) o(x^n)

六。无穷级数

1．常用的函数展开式。

（1）1/(1 u) 1 u u^2 u^3 .... u^n

(2) 1/(1 u) 1 u u^2 u^3 .... ( 1)^n(u^n),( 1,1)

2.傅立叶级数

函数展开为三角级数为

f(x) 1/2*a0 [(an)*cosnx (bn)*sinnx]

n 1

其中an 1/ f(x)cosnxdx(n 0,1,2...)

bn 1/ f(x)sinnxdx(n 0,1,2...)f((x)是以2 为周期的函数)

当f(x)是以2l为周期的函数时，则

f(x) 1/2*a0 [(an)*cos(n x/l) (bn)*sinn x/l]

n 1

其中an 1/l f(x)cos(n x/l)dx(n 0,1,2...) ll

bn 1/l f(x)sin(n x/l)dx(n 0,1,2...) ll

九．矢量代数与空间解析几何

1 单位矢量a0 a/|a| {x/x^2 y^2 z^2,y/x^2 y^2 z^2,z/x^2 y^2 z^2}

空间两点的距离M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),则M1M2 ．

x2 x1)^2 (y2 y1)^2 (z2 z1)^2

2．平面A1x B1y C1z D1 0与平面A2x B2y C2z D2 0夹角

co s (A1A2 B1B2 C1C2)/A1^2 B1^2 C1^2*A2^2 B2^2 C2^2 直线L1(x x1)/l1 (y y1)/m1 (z z1)/n1与直线L2(x x2)/l2 (y y2)/m23. (z z2)/n2,直线L1,L2的夹角 ,由下式确定：

cos (l1l2 m1m2 n1n2)/1^2 m1^2 n1^2*2^2 m2^2 n2^2 4。

点M(x0,y0,z0)到平面Ax By Cz D 0的距离为d |Ax0 By0 Cz0 D|/A^2 B^2 C^2