07 损失模型：免赔、限额、共保和通胀的影响

损失模型：免赔、限额、共保和通胀的影响

内容提要免赔额、限额、共保和通胀对赔款金额的影响赔款的均值赔款的方差免赔额对索赔次数的影响注：在以前的损失模型中，假设损失等于赔款。

免赔额(Deductibles):对索赔次数和赔款金额产生影响赔偿限额(Limits):只影响赔款金额，不影响索赔次数共保(Coinsurance)只影响赔款金额，不影响索赔次数通胀(Inflation):影响赔款金额1 2

1、免赔额(Deductible)为何应用免赔额？控制小额索赔，降低理赔成本类型：一般免赔额 (ordinary deductible):赔款等于损失减去免赔额。把随机变量调整为超额损失随机变量(excess loss)或 left censored and shifted随机变量。这取决于应用免赔额的结果是表示每次赔款的随机变量，还是每次损失的随机变量：per payment(不含零) or per loss(含零)。特许免赔额 ( franchise deductible ):对一般免赔额进行调整，即当应用一般免赔额以后的赔款大于零时，赔款中不扣除免赔额。3

一般免赔额如果用X表示原始损失，用d表示一般免赔额，用 Y表示保险公司的赔款，则对 Y可以有两种解释: Y是保险公司对每次损失的赔款，包括损失不超过免赔额 d时，保险公司支付的零赔款在内。 Y是保险公司对每次索赔的赔款，或者说是保险公司发生的非零赔款。

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如果把Y解释为保险公司对每次损失的赔款，则Y就是“含零赔款”的随机变量(per-loss variable): 0, YL= X d, X≤d X>d

per loss variable (“含零赔款”随机变量 ) 0 YL= X d X≤d X>d

如果把Y解释为保险公司对每次索赔的赔款，则Y就是“非零赔款”(或超额损失)的随机变量(per-payment variable): undifined, X≤ d YP= X>d X d,

含零赔款随机变量取零值的概率(即损失不超过免赔额d的概率)为Pr(Y L= 0)= Pr( X≤ d )= FX (d )

关系： Y P= Y L| Y L> 0

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损失模型：免赔、限额、共保和通胀的影响

含零赔款YL的其他各种函数分别为

per payment variable (“非零赔款”,超额损失)YP= X d| X> d非零赔款YP的各种函数分别为：FY P ( y )= Pr(Y P≤ y )= Pr( X d≤ y| X> d )= Pr(0< X d≤ y ) Pr( d< X≤ y+ d )= Pr( X> d ) Pr( X> d )

FY L ( y )= Pr(Y L≤ y )= Pr( X d≤ y )

= Pr( X≤ y+ d )

= FX ( y+ d )

(y≥ 0 )

fY L ( y )= f X ( y+ d )

(y> 0 )=

FX ( y+ d ) FX (d ) 1 FX (d )fY P ( y )= fX ( y+ d ) fX ( y+ d )= 1 FX ( d ) S X (d )

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“含零赔款”与“非零赔款”随机变量的比较

实际损失(original loss)、含零赔款(per loss variable)非零赔款(per payment variable)的密度函数比较

0 YL= X d

X≤d X>d

undifined, X≤ d YP= X>d X d,FX ( y+ d ) FX (d ) 1 FX ( d )

FY L ( y )= FX ( y+ d ) fY L ( y )=

f X ( y+ d ) f L (0)= FX (d ) Y

FY P ( y )=

Left censored and shifted distribution

fY P ( y )=

fX ( y+ d ) 1 FX ( d )9

d=20

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特许免赔额 (Franchise deductible)当实际损失小于或等于免赔额时，保险公司不赔任何款项，一旦实际损失超过免赔额，保险公司将按实际损失进行赔付。 (见下页)

含零赔款为 0 YL= X X≤d X>d

非零赔款(超额损失)为 undifined, YP= X, X≤d X>d

对比：一般免赔额 0, YL= X d, X≤d X>d undifined, X≤ d YP= X>d X d,12

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损失模型：免赔、限额、共保和通胀的影响

特许免赔额对于含零赔款： FX (d ), y= 0 fY L ( y )= f X ( y ), y> d FX (d ), 0≤ y≤ d FY L ( y )= FX ( y ), y> d

特许免赔额条件下，非零赔款(超额损失)分布函数的推导：

对于非零赔款(超额损失):fY P ( y )= f X ( y), 1 FX (d ) y>d(把0点的概率确定为0,相应增大其他各处的概率)

FY P ( y )=∫ fY P (t )dtd

y

=

∫

y

d

f X (t )dt

1 FX (d )

0≤ y≤d 0, FY P ( y )= FX ( y ) FX (d ) y>d 1 F (d ), X

(证明见下页)13

=

FX ( y ) FX (d ) 1 FX (d )14

特许免赔额条件下，实际损失、含零赔款、非零赔款的密度函数比较

定理(直观解释):对于一般免赔额平均含零赔款为E (Y L )= E ( X ) E ( X∧ d )

平均非零赔款(平均超额损失)E (Y P )= E( X ) E( X∧ d ) 1 F (d )

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loss elimination ratio (损失消减率)对特许免赔额平均含零赔款为E (Y )= E ( X ) E ( X∧ d )+ d[1 F (d )]L

损失消减率：应用一般免赔额后，使期望赔款减少的比率。在没有一般免赔额的条件下，期望赔款为 E(X)在应用一般免赔额的条件下，期望赔款(平均含零赔款)为 E(X)-E(X∧ d)故损失消减率为

平均非零赔款(平均超额损失)为E( X ) E( X∧ d ) E (Y )=+d 1 F (d )P

E ( X ) [ E ( X ) E ( X∧ d )]17

E( X )

=

E( X∧ d ) E( X )

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损失模型：免赔、限额、共保和通胀的影响

定理:通货膨胀的影响(直观解释对平均值的影响)对于一般免赔额 d和通涨率 r平均含零赔款为

证明：应用通涨率以后，损失可以表示为故

Y= (1+r) X

d (1+ r ) E ( X ) E X∧ 1+ r 平均超额损失(平均非零赔款):除以下式即得

y fX 1+ r fY ( y )= 1+ r

y FY ( y )= FX 1+ r

平均含零赔款为

d 1 F 1+ r 19

E[ (Y d )+]= E (Y ) E (Y∧ d )20

因为

d/(1+ r )

E (Y∧ d )=∫ yfY ( y )dy+ d[1 FY ( d )]0

d

=

∫0

(1+ r ) xf X ( x)dx+ d 1 FX

d 1+ r

y fX 1+ r dy+ d 1 F d =∫y X 1+ r 1+ r

0d

d/(1+ r ) d d 1 FX = (1+ r ) ∫ xf X ( x)dx+ 1+ r 1+ r 0

令y= (1+r) xd/(1+ r )

=

∫0

d (1+ r ) xf X ( x)dx+ d 1 FX 1+ r 21

d = (1+ r ) E X∧ 1+ r

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故应用通涨率r以后，平均含零赔款为

故平均非零赔款(平均超额损失)为

E[ (Y d )+]= E (Y ) E (Y∧ d )

eY (d )=

E (Y ) E (Y∧ d ) 1 FY (d )故

d = (1+ r ) E ( X ) (1+ r ) E X∧ 1+ r d = (1+ r ) E ( X ) E X∧ 1+ r 23

由于

d FY ( d )= FX 1+ r 平均含零赔款 d 1 FX 1+ r

平均非零赔款=

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损失模型：免赔、限额、共保和通胀的影响

2、赔偿限额赔偿限额：对一次索赔的最大可能赔款。赔偿限额的应用会产生右删改随机变量( right censored random variable.)

应用赔偿限额以后，随机变量的分布函数和密度函数：

应用赔偿限额以后，无需区分含零赔款和非零赔款，因为赔偿限额对零点的概率没有影响。

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应用赔偿限额以后，随机变量的密度函数

定理：对于赔偿限额 u和通涨率 r,Y=(1+r)X,期望赔款为

u E (Y∧ u )= (1+ r ) …… 此处隐藏：5200字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……