高中数学必修4知识点总结

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第二章 平面向量

16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．

17、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：a b a b a b．

⑷运算性质：①交换律：a b b a；

②结合律：a b c a b c；③a 0 0 a a．

C

⑸坐标运算：设a x1,y1 ，b x2,y2 ，则a b x1 x2,y1 y2 ．

18、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

a

b

⑵坐标运算：设a x1,y1 ，b x2,y2 ，则a b x1 x2,y1 y2 ． 设 、则 两点的坐标分别为 x1,y1 ， x2,y2 ，

x1

x2y ,1y2

．

a b C C

19、向量数乘运算：

⑴实数 与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 a． ①

a a；

②当 0时， a的方向与a的方向相同；当 0时， a的方向与a的方向相反；当 0时， a 0．

⑵运算律：① a a；② a a a；③ a b a b．

⑶坐标运算：设a x,y ，则 a x,y x, y ．

20、向量共线定理：向量aa 0与b共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使b a．

设a x1,y1 ，b x2,y2 ，其中b 0，则当且仅当x1y2 x2y1 0时，向量a、bb 0共线．

21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，

有且只有一对实数 1、 2，使a 1e1 2e2．（不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基

底）

22、分点坐标公式：设点 是线段 1 2上的一点， 1、 2的坐标分别是 x1,y1 ， x2,y2 ，当 1 2

时，点 的坐标是

x1 x2y1 y2

时，就为中点公式。）（当 1 , ．

1 1

23、平面向量的数量积：

⑴a b abcos a 0,b 0,0 180．零向量与任一向量的数量积为0．

⑵性质：设a和b都是非零向量，则①a b a b 0．②当a与b同向时，a b ab；当a与b反 2

2 a a a aa b aba向时，；或a ．③ b ab．

⑶运算律：①a b b a；② a b a b a b；③a b c a c b c．

⑷坐标运算：设两个非零向量a x1,y1 ，b x2,y2 ，则a b x1x2 y1y2．

222

若a x,y ，则a x y，

或a ． 设a x1,y1 ，b x2,y2 ，则

a b 1x2x

1

． y20y

a b

是a与b的夹角，

b都是非零向量，设a、则cos ． a x1,y1 ，b x2,y2 ，

ab第三章 三角恒等变换

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

⑴cos cos cos sin sin ；⑵cos cos cos sin sin ； ⑶sin sin cos cos sin ；⑷sin sin cos cos sin ； ⑸tan

tan tan

（tan tan tan 1 tan tan ）；

1 tan tan

tan tan

（tan tan tan 1 tan tan ）．

1 tan tan

⑹tan

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

222

⑴sin2 2sin cos ． 1 sin2 sin cos 2sin cos (sin cos )

⑵cos2 cos

2

sin2 2cos2 1 1 2sin2

2

,1 cos 2sin2

升幂公式1 cos 2cos2

2

cos2 11 cos2 2

，sin ． 降幂公式cos2

22

⑶tan2

2tan ．

1 tan2

万能公式:

αα2tan1 tan2

;cosα sinα αα

1 tan21 tan2

22

:26、半角公式

α cosαα1 cosα

cos ;sin 2222 α

cosα

tan 2 1 cos α （后两个不用判断符号，更加好用）

27、合一变形 把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 y Asin( x ) B形式。 sin cos

，其中tan

．

28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：

（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，

倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：

①2 是 的二倍；4 是2 的二倍； 是

2

的二倍；

2

是

4

的二倍；

30o

；cos ； ②15 45 30 60 45 ；问：sin12122

o

o

o

o

o

③ ( ) ；④

4

2

(

4

)； 4

)；等等

⑤2 ( ) ( ) (

4

) (

（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常

化切为弦，变异名为同名。

1”的

代换变形有：

22oo

1 sin cos tan cot sin90 tan45

（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用

降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式

cos 常用升幂化为有理式，常用升幂公式有：；

如：

1 tan 1 tan

_______________； ______________；

1 tan 1 tan tan tan ____________；1 tan tan ___________； tan tan ____________；1 tan tan ___________；

2tan ；1 tan2

tan20o tan40o 3tan20otan40o

sin cos

asin bcos （其中tan ；） 1 cos 1 cos

（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；

基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值

与特殊角的三角函数互化。

如：sin50o(1 3tan10o) ；

tan cot 。

高考试题来源：http://doc.guandang.net/zyk/gkst/