哥德巴赫猜想的证明

利用极限法 归纳法 筛法证明

猜想1 每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和

猜想2. 每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和。

证明：

设：m为整数且≥3；a，a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，b1，b2，b3，b4，b5，b6，

b7，b8，b9，为整数且≥1

∵m为整数且≥3

∴2m为偶数且≥6

尾数为1且<121的和数为：21，51.，81，91，111 共5个

尾数为1且≥121的和数可表示为：

①（10a+1）*（10b+1） ，2m>121

②（10a1+3）*（10b1+7） ，2m>221

③（10a2+9）*（10b2+9） ，2m>361

尾数为3且<143的和数为：33，63，93，123，133 共5个

尾数为3且≥143的和数可表示为：

④（10a3+1）*（10b3+3） ，2m>143

⑤（10a4+7）*（10b4+9） ，2m>323

大于0且尾数为5的整数除了5，其余皆为和数

尾数为7且<187的和数为：27，,57，77,，87，117，147，177 共7个

尾数为7且≥187的和数可表示为：

⑥（10a5+1）*（10b5+7） ，2m>187

⑦（10a6+3）*（10b6+9） ，2m>247

尾数为9且<169的和数为：9，39，49，69，99，119，129，159 共8个

尾数为9且≥169的和数可表示为：

⑧（10a7+1）*（10b7+9） ，2m>209

⑨（10a8+3）*（10b8+3） ，2m>169

⑩（10a9+7）*（10b9+7） ，2m>289

∵a，a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，b1，b2，b3，b4，b5，b6，b7，b8，b9，为整数且≥1

令代数式①，②，③，……，⑩分别小于2m

则 ab，a1b1，a2b2，……，a9b9分别可以表示：当代数式①，②，③，……，⑩分别<2m 时，代数式①，②，③，……，⑩可以表示的数的个数

又∵大于等于3且小于2m的奇数可以求出为 m-1个 ∴ab可表示代数式①所能表示的数的个数与大于于3且小于2m的奇数的个数的m 1

比

（10a+1）*（10b+1）<2m ab<2m 10a 10b 1 100

ab2m 10a 10b 1< m 1100(m 1)

利用极限法 归纳法 筛法证明

∵12m 10a 10b 1存在极大值 50100(m 1)

∴ab1的极大值为 m 150

m 1个 50∴大于等于3且小于2m的奇数中，代数式①能表示的数最多为

同理可求得，大于等于3且小于2m的奇数中，代数式①，②，③，……，⑩能表示的数最多都为m 1个 50

∴大于等于3且小于2m的奇数中，尾数为1的和数最多为3(m 1)+5个 50

2(m 1)大于等于3且小于2m的奇数中，尾数为3的和数最多为+5个 50

m 1大于等于3且小于2m的奇数中，尾数为5的和数最多为-1个 5

2(m 1)大于等于3且小于2m的奇数中，尾数为7的和数最多为+7个 50

3(m 1)大于等于3且小于2m的奇数中，尾数为9的和数最多为+8个 50

设p1，p2为正奇数

则 当m为奇数时满足p1+p2=2m的p1，p2共有

∵当2m≥502时 [m 1-1组 2m 13(m 1)2(m 1)m 12(m 1)-1]-[+5]-[ +5]-[ -1]-[ +7] 25050550

3(m 1)-[ +8] 的极小值≥1 50

即，当2m≥502且m为奇数时至少有1 组p1，p2使猜想1成立

∴当2m≥502且m为奇数时猜想1成立

当m为偶数时满足p1+p2=2m的p1，p2共有

∵当2m≥512时 [m-1组 2m3(m 1)2(m 1)m 12(m 1)-1]-[+5]-[ +5]-[ -1]-[ +7] 25050550

3(m 1)-[ +8] 的极小值≥1 50

即，当2m≥512且m为奇数时至少有1 组p1，p2使猜想1成立

∴当2m≥512且m为偶数时猜想1成立

∴当2m≥512时 猜想1成立

利用极限法 归纳法 筛法证明

当2m≤512时，利用穷举法，证得，猜想1成立

∴综上所述，猜想1成立

∵大于等于9的偶数可以表示为 3+大于等于6的偶数

又∵猜想1成立

∴猜想2成立

通过总结证明过程可以得出：质数的个数与和数个数的比值无限接近1:9