第7章 拉普拉斯变换

第七章 拉普拉斯变换

将函数f(x)与含参数k的指数函数相乘而后对x积分，积分结果是参数k的函数记为f(k)——称为积分变换。本章主要讨论拉普拉斯变换，要求函数在区间（0，∞）中有定义。从数学角度来看，拉氏变换方法是求解常系数线性微分方程的工具，它的优点表现在:①求解的步骤得到简化，同时可以给出微分方程的特解和齐次解，而且初始条件自动地包含在变换式里；②拉氏变换分别将“微分”与“积分”运算转换为“乘法”和“除法”运算；③在无线电技术中经常遇到的指数函数、超越函数以及有不连续点的函数，经拉氏变换转换为简单的初等函数；④拉氏变换把时域中两函数的卷积运算转换为变换域中两函数的乘法运算，在此基础上建立了系统函数的概念。 §21 拉普拉斯变换

十九世纪末，英国工程师（O.Heaviside,1850-1925）发明了“算子法”解决电工程中遇到的一些基本问题。后来，人们在法国数学家（http://doc.guandang.netplace,1749-1825）的著作中为其找到了可靠的数学依据，重新给予严密的数学定义，为之取名拉普拉斯变换。 §21.1 拉普拉斯变换的定义（单边拉氏变换）

(t)(0

t (t)

0(t 0)

pt e (t)dt0，p为复数，：考虑t 0

＝0时刻的跃变包含到初始条件中

(t)称为 (p)的原函数， (p)为 (t)的像函数，可简记为

(t)≒(p)， (p)= [ (t)], (t)=

-1

[ (p)]

拉氏变换和傅氏变换的关系：傅氏变换是拉氏变换中p取纯虚数i 的特殊形式，傅氏变换中对f(x)的要求比较严格，而拉氏变换中仅要求f(x)随x的增长速度不快于e

§21.2拉普拉斯变换的敛散性

由于积分是一反常积分（t ）因此应考虑积分敛散性，这就要求

Repx

e pt (t)

t

0，即 (t)最多只能按e t（ 0）方式增长，

这时要求Rep> 因为e

Rep t

et(0 t )

,例如f(t)= 无法进行拉氏变换，这是

0(t 0)

t2

2

无法遏制e在t 间范围内。

§21.3 一些常用函数的拉氏变换

1、

1(0 t )

阶跃函数u(t)

0(t 0)

[u(t)]=u(p) u(t)≒2、

指数函数 ≒

n

e ptdt 1/p

e

t

t pt

e edt 1/(p ) ( Rep) 0

3、t（n为正整数） t

n

n

tn n 1 ptn n 1 ptn pt pt dt t edt t edt ≒ 0 t edt e

0pp0p0

即4、

n

[t]=

p

n

n 1t[]=

n(n 1)L3

2

pn 1n![t]=n 1

p

冲激函数

pt

[ (t)]=

0 (t) e

dt=1

pt

[ (t t0)]= 0 (t t0) e5、其他常见函数

dt=e

pt0

[sin t] t

p2

2

[cos t] p

t

p2

2

[esin t] (p )

2

2

p [ecos t]

(p )2

2

[tne t] n(p

)n 1

(p

2

[tsin t] 2 p

[sh t]

222

)

22p [tcos t]

p2

2)2

p

2

[ch t] p

p2 2

§21.4 拉氏变换的基本性质 ① 线性叠加性

若

[f1(t)]

F1(p),

[f2(t)] F2(p) k1、k

2为常数时，则有

[k1f1(t) k2f2(t)] k1F1(p) k2F2(p)

② 原函数微分 若

[f(t)] F(p)，则

df(t)

pF(p) f(0) []=

dt

n 1

dnf(t)nn r 1(r)

pF(p) pf(0) []=n

dtr 0

③原函数的积分 若

[f(t)] F(p)，则

t

1

Fpf0 f d pp

f

1

0

f d

tf d

0f d tf d

0

1

f0 t e ptdtf d = f d 0 0 p

f

1 0

=

p

0

t

f 1 0 1 ptt 1 pt

ef d ftedt = 00p p 0p

f 1 0 F p

=

p+p

④时域平移（延迟定理） 若⑤

f t =F p ，则

pt0

ft tut t eF p 00

p域平移（位移定理）

f t =F p ，则

t fte =F p

若

⑥尺度变换 若⑦初值

f t =F p ，则

p f t F

1

df t

若f t 及可以进行拉普拉斯变换，f t 的变换式为F p ，

dt

则

i mf tl 0

因

t

f 0

p

limp F p

df t df t pt pFp f0 edt 0dt dt

0

df t df t pt

edt e ptdt

0dtdt

= 0

=f0

f 0

0

df t pt

edtdt

f0 f0

p

f t =limpF p f0 =tlim

p 0

初值定理告诉我们：只要已知变换式并求出原函数的初值。 ⑧终值

p 的极限，则可求

df t

若f t 及可进行拉氏变换，f t 的变换式为F p 且

dt

limf t 存在，则limf t limpF p

t t p 0

df t pt

edt dt

由pF p f 0 0

impF p f lp 0

0

t

lfi mt f

0

而终值定理告诉我们：可从F p 来求t 时例 如图在t

f t 值。

0时开关K闭合，求输出信号uc t

(a)Ri t uc t Eu t (b)RC Puc p uc 0 uc(p)

uc t t 0 0

E

p

1 1 uc p E

1 pp

RCp p

RC

E

t

RC

©uc t L uc p E 1 e (t

1

0)

P1221,3

⑨卷积

t

tf f t d F p F p 212 01

2

f f t d

1

f f 2t d （函数变量小于零1

时，函数值等于零）

f1 f2 t d f1 d f2 t e ptdt

当t 时，f2(t ) 0，

则上式＝

f1 d f2 t e ptdt

令：x t

则上式＝

f1 e

p

d f2 x e pxdx

=F1 p F2 p

1 i

F1 p p F⑩相乘 2 i 2 i(11)对p微分

s

dLs

1 f 2t f

t

dF p pt

L tft [ tft]edt 0dp

对p积分

f t f t pt

ptdt L pF p dp 0f t dt pedp 0

t t

§22 拉普拉斯变换的反演

不少方程在拉氏变换下的像函数方程比较容易求解。但是解出像函数后还必须进行反演，找到它的原函数才是原方程的 …… 此处隐藏：1632字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……