偏微分方程数值解试题06A参考答案

偏微分方程数值解试题

小值点.

(4 分)

评分标准: ( ) 的表示式 3 分, 每问 3 分,推理逻辑性 1 分 一 ( 10J ( x)

分 )、 设 矩 阵 A 对 称 正 定 ， 定 义 二(20 分) 、对于边值问题 2u 2u 2 2 1 , ( x, y) G (0,1) (0,1) x y u | G 0

1 ( Ax , x) (b, x) ( x R n ) ,证明下列两个问题等价：(1)求 2x R

x0 R n 使 J ( x 0 ) min J ( x) ;(2)求下列方程组的解： Ax b n解: 设 x0 R n 是 J (x) 的最小值点,对于任意的 x R n ,令

( ) J ( x0 x) J ( x0 ) ( Ax0 b, x) '

22

( Ax, x) ,

(3 分)

(1)建立该边值问题的五点差分格式(五点棱形格式又称正五点 格式) ,推导截断误差的阶。 (2)取 h 1 / 3 ,求边值问题的数值解(写出对应的方程组的矩

因 此 0 是 ( ) 的 极 小 值 点 , (0) 0 , 即 对 于 任 意 的x Rn

, ( Ax0 b, x) 0 , 特 别 取2

x Ax0 b , 则 有

阵形式，并求解) (3)就取 h 1 / N 的一般情况写出对应方程组的系数矩阵(用分 块矩阵表示) 。 解: (1) 区域离散 x j jh, yk kh ,差分格式为

( Ax0 b, Ax0 b) || Ax0 b || 0 ,得到 Ax0 b .(3 分)

反 之 , 若 x0 R

n

满 足 Ax0 b , 则 对 于 任 意 的1 ( Ax , x) J ( x0 ) ,因此 x0 是 J (x) 的最 2

x , J ( x0 x) (1) (0)

u j 1,k 2u jk u j 1,k h2

u j ,k 1 2u jk u j ,k 1 h2

1

评分标准:第 1 问 8 分,格式 4 分,截断误差 4.(2) 7 分,方程 4 分,解 3 分.(3)5 分, 形式 3 分,B 的形式 2 分

(5 分)

h 2 4u 4u 应用 Ta ylo y 展开得到,截断误差为 [ 4 4 ] jk O(h 4 ) ,其阶 12 x y为 O(h 2 ) (3 分) (2) 未知量为 U (u11 , u12 , u21 , u22 )T ,矩阵形式为 AU F ,其中

u 2u a 2 , 0 x 1,0 t T x t 三(20 分) 、对于初边值问题 u ( x,0) ( x), 0 x 1 u (0, t ) u (1, t ) 0,0 t T (1)建立向前差分格式(最简显格式) ,推导截断误差的主项， 指出误差阶; (2)写出差分格式的矩阵形式(即 AU k 1 BU k F 的形式) , 用矩阵方法分析格式的稳定性 (3)建立六点加权格式，写出计算形式，应用 Fourier 方法(分

4 1 1 0 1 1 1 1 4 0 1 A ,F 1 0 4 1 9 1 0 1 1 4 1 (4 分)1 解为 u (1,1,1,1) T 18

(3 分)

B I (3) 矩阵为

I B

I I

4 1 1 4 1 ,B B 1 4

(5 分)

离变量法)

分析格式的稳定性。

解 :(1) (5 分) 应 用

区 域 离 散 , 格 式 为

u k 1 u k j j

a

1 2 k xuj h2

,

(3 分) 当 (2 分)1 1 1 格式恒稳定,当 ,稳定条件为 r 2 2 1 2

T

a

y 展l

开 r得 o

到

, ,

误 阶

差 为

主

项

为 四 ( 10 分 )、 逼 近u n 1 u n 1 j j 2 a u n 1 u n 1 j j 2h 0 u u a 0 的 三 层 差 分 格 式 t x

1 2u k ah2 4 u k ( 2 ) j ( ) j O( 2 h 4 ) 2 t 12 x 4

O( h 2 )

(3 分) (2) (4 分) 稳 (3 分) 定 条 件 为r 1/ 2A E, B diag{r ,1 2r , r}

,

分析格式的稳定性 解 (2 分) 此 为 三 层 格 式 , 化 为 两 层 格 式 . 令 v n 1 u n , 则 j j : 计 算 形 式 为

u n 1 ar(u n 1 u n 1 ) u n 1 j j j j

(3)

格

式

为

u k 1 u k j j

a 2 x2 ( u k 1 (1 )u k ) j j h

,

有

u n 1 ar(u n 1 u n 1 ) v n j j j j n 1 n uj v j

(4 分)

n 令 u n w1nei jh , vn w2 ei jh ,代入格式,消去公因子,得到 j j

w1n 1 2iar sin h 1 w1n n 1 n w 1 0 w2 2 (2 分)

五(10 分) 、建立波动方程 导截断误差.

2u 2u a 2 2 的初值问题的显格式，推 t 2 x

n 2ar s i hi 1 , 特 征 方 程 为 放 大 矩 阵 为 G 1 0 | E G |

解

:

差

分

格

式

为

u n 1 2u n u n 1 j j j

2

a2

1 2 n xuj h2

,

2ar s i hi 1 n 1 2ar sin h 4 4a 2 r 2 sin 2 h i 2

(5 分) 4u 1 4u 2 4 a 2 4 h 2 O( 4 h 4 ) , 阶 为 截 断 误 差 为 x 12 t j jn n

2 2ar sin hi 1 0 , 1, 2

O( 2 h 2 )

(5 分)

1 2 1 , max{| 1 |, | 2 |} 1 的充要条件为方程有相同的复根或一对共扼复根,即 4 4a 2 r 2 sin 2 h 0 .考虑到 的变化,稳定条 件为 | ar | 1 (2 分) 六(10 分) 、对于二维抛物型方程

u 2u 2u a( 2 2 ) 建立向后差 t x y

分格式(隐格式) ,指出截断误差阶，分析格式的稳定性。

解 : (4 分)

差 分 格 式 为

u n 1 u n jk jk

a 2 n 1 2 ( x u jk y u n 1 ) jk 2 h

| G | 2 sin 2 kh 1 4 (1 coskh) 4 2 (1 coskh)2

2 (1 coskh)(1 c o kh) 1 4 (1 c o kh) 4 2 (1 c o kh)2 s s s 1 (1 coskh)[4 4 2 (1 coskh) 2 (1 coskh)](3 (2 分) von Neumann 条件 | G | 1 变为

误差阶为 O( h 2 ) (3 分)

1 放大因子为 G( , , ) ,恒稳定. 2 h 2 h 1 4r sin

4r sin 2 2分)

4 4 2 (1 c o kh) 2 (1 c o kh) 0 s s七(10 分) 、分析差分格式 即

4 2 2 (4 2 2 )(1 c o kh) 0 s

u k 1 u k j j

a

u k 1 2u k u k 1 j j j h2

b

u k 1 u k 1 j j 2h

cu k (a 0) j

只需

4 2 2 0,2( 2 4 2 ) 4 2 2 0条件 4 2 0 可以写成 此差分格式稳定的条件是a 2 2 1 。第二个条件可化为 2 1 ,因 h 2

的稳定性 解:写出计算形式,忽略低阶项 2 分,写出放大因子 3 分

a 2 2 1, 1 2 h2

(3 分)