零件分析法证明不等式专题讲座

数学竞赛中的不等式

零件分析法证明不等专题讲座

安徽宿州学院数学系 化劼 234000

苏州虎丘高级中学 田林 215008

通过简单凑配，特殊构造等方法先证明一系列形式较简单的不等式再将它们 累加（或累积），从而达到证明待证不等式的目的。这种证明不等式的方法我们 统称为零件分析法（或零件不等式法）。下面我们将以构造方法为主线，系统介 绍这种证明不等式的方法。 一．凑配型构造

a2b2c2

例1.已知a,b,c∈R++≥a+b+c

bca

简证：注意到原不等式的等号是在a=b=c时取得的，由此

+

a2b2c2

+b≥2a;+c≥2b;+a≥2c

bcaa2b2c2

++≥a+b+c

bca

例2.已知a,b∈R+且a2+b2=2,求证：a3+b3≥2简证：注意到等号在a=b=1取得，联系已知我们有 a3+a3+1≥3a2(a=1取等号) 以及：b3+b3+1≥3b2(b=1取等号) 累加整理为：a3+b3≥

+

3(a2+b2) 2

2

=2(a=b=1取等号)

a2+1b2+1

例3.已知a,b∈R,+≥4

ba

简证：注意到等号在a=b=1时取得，联系已知我们有a2+12a

≥,(a=1取等号)

bbb2+12b

≥,(b=1取等号)

aa

a2+1b2+1 ab

+≥2 + ≥4(a=b=1取等号)

ba ba

例4已知.xi>0且x1 x2 xn=1，求证：(x13+2) (x23+2) (xn3+2)≥3n

简证：注意到等号成立的条件x1=x2 =xn=1

数学竞赛中的不等式

凑配：x13+2=x13+1+1≥3x1

33

以及: x2+2≥3x2; xn+2≥3xn

累积即得：(x13+2) (x23+2) (xn3+2)≥3n

直接凑配的关键在一方面要明确等号成立条件，保证不等式累加的传递性（特别是等号的）；另一方面要熟悉常用不等式灵活沟通已知与待证. 二．线性构造

111

.x,y,z∈R+且x+y+z=1,求证:++≥9. 例5已知

xyz

1

时取得，我们考虑只要使得3

11

3≥0对任意正数恒成立且满足等号成立条件即可，而 3≥0的解为 xx

1

，所以0<x≤显然不是对于任意正数恒成立的（但是等号成立条件是满足的）

31

要把 3≥0再加强些，联系已知条件，我们不妨设存在实数k，使得

x11

3≥k(1 3x)恒成立，该不等式不但满足了等号成立条件，也加强了 3≥0，xx更重要的是由对称性一但使其恒成立的k找到，原不等式就被证明了。

1 3x(1 3x)(1 kx)

下面将 k(1 3x)≥0化简为≥0．要使上式恒成立，则分子一

xx

分析：注意到x,y,z∈R+且等号在x=y=z=

1(1 3x)2

≥0 定是(1 3x)，所以k=3．此时 3≥3(1 3x)

xx

2

1

证明:由分析可知,有零件不等式 3≥3(1 3x),

x

同理,

11

3≥3(1 3y), 3≥3(1 3z), yz

111

三式相加,++ 9≥3(1 3x+1 3y+1 3z)=0

xyz

1111

即++≥9(当且仅当x=y=z=时取等号). xyz3

评注：上面的例子并不复杂，其实直接用均值不等式就可以证，放在此处的目的

一方面让大家能够很容易理解我们构造思想；另一方面我们考虑构造零件不等式的证法，能更好的揭示该不等式的本质．

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例6已知.x,y,z∈R+且x+y+z=1,求证：

3+x3+y3+z

++≤9. 222

1+x1+y1+z

1

时取得，类似例5的分析方法不妨3

分析：注意到x,y,z∈R+且等号在x=y=z=

(1 3x)(x k kx2)3+x

化简可得≤0．欲满足构造条件，设 3≤k(1 3x)恒成立，22

1+x1+x分子(1 3x)(x k kx2)必含有(1 3x)2，(x k kx2)中必还含有(1 3x)，则我们

3+x3(1 3x)2(x 3)113

3≤(1 3x) ≤0 有 k k=0，解得k=。此时22

1+x1010(1+x)3910证明：由以上分析易证：

同理,

3+x3 3≤(1 3x), 1+x210

3+y33+z3

3≤(1 3y), 3≤(1 3z),22

1+y101+z10

3+x3+y3+z3

三式累加,++ 9≤[(1 3x)+(1 3y)+(1 3z)]=0222

1+x1+y1+z103+x3+y3+z1++≤9（当且仅当时取等号） ===xyz222

1+x1+y1+z3

xyz3

++≥. y+1z+1x+14

x3

x≥kx(1 3y)恒成立， y+14

即

例7已知.x,y,z∈R+且x+y+z=1,求证：

分析：联系已知及不等号成立条件，不妨假设

化简得

(1 3y)[1 4k(y+1)]3

x≥0，同上例的分析，解得k=，

4(y+1)16

此时

x33xx159 x≥(1 3y) ≥x xy

1616y+14y+116

x159

≥x xy,

16y+116

证明：由以上分析易证：

同理,

yz159159

≥y yz,≥z zx, z+116x+1161616

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三式累加,

xyz159++≥(x+y+z) (xy+yz+zx),

16y+1z+1x+116

因x+y+z=1,故

(x+y+z)2=1(x+y+z)21

而xy+yz+zx≤=

33

所以

xyz31

++≥（当且仅当x=y=z=取得等号） y+1z+1x+143

x2

x

(3 ≥ 1) 2

1 x2

2

.x,y,z∈R+且x2+y2+z2=1,

求证:例8已知

简证：和前面方法一样，构造出零件不等式

即

y2z2x2

,, ．同理≥y≥z, ≥

x2

22

1 y21 z21 x2

)

当零件中有多个变量时要考虑将条件逆代以利“均分”，如例7；所谓“线

性构造”只是代称，因为遇到的问题做线性构造的较多，但也有特殊情况，如例8。要联系实际问题具体分析，选择合适的“零件”形式。 三．齐次构造

1111

例9.已知a,b,c∈R+且abc=1,++≥

1+8a1+8b1+8c3 333

++≥11+8a1+8b1+8c

3ak+

假设存在实数k使得:对任意a∈R有≥

1+8aak+bk+ck

则有:3(ak+bk+ck)≥ak+8ak+1

即ak+ak+bk+bk+bk+ck+ck+ck≥8ak+1(*)

而a+a+b+b+b+c+c+3c≥8a(bc)14444442444444

8个

k

k

k

k

k

k

k

k

2k

8

3k8

=8a(a=b=c取等号)

k8

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k8

欲使(*)成立必有:k+1= ,解得:k=

89

则对任意a∈R+有

3

≥1+8a

aa

89

8989

+b+c

89

证明:由上面的分析易证:对任意a∈R+有3

≥

1+8b

ba

89

8989

3

≥1+8a;

aa

89

8989

+b

89

+c

8989

89

+b+ca333

++≥1

1+8a1+8b1+8c

1111

即++≥(a=b=c=1取等号)

1+8a1+8b1+8c3

例10.设a,b,c∈R+1

+

1

+

89

3

≥1+8c

c

+b