八年级上册数学全等三角形证明辅助线分析实例及复习题答案

初二数学 全等三角形综合复习

切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。

例1. 如图，A,F,E,B四点共线，AC CE，BD DF，AE BF，AC BD。求证：

ACF BDE。

E手，全等条件只有思路：从结论 ACF BD入

AC BD；由AE BF两边同时减去EF得到AF BE，又得到一个全等条件。还缺少一

个全等条件，可以是CF DE，也可以是 A B。

由条件AC CE，BD DF可得 ACE BDF 90，再加上AE BF，AC BD，可以证明 ACE BDF，从而得到 A B。

证明

AC CE，BD DF

ACE BDF 90 在Rt ACE与Rt BDF中

AE BF

AC BD

∴Rt ACE Rt BDF(HL)

A

B AE BF

AE EF BF EF，即AF BE 在 ACF与 BDE中 AF BE

A B AC BD

ACF BDE(SAS)

思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。

小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。 例2.

如图，在 ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD BE，垂足为D。求证： 2 1 C。

思路：直接证明 2 1 C比较困难，我们可以间接证明，即找到 ，证明 2 且 1 C。也可以看成将 2“转移”到 。

那么 在哪里呢？角的对称性提示我们将AD延长交BC于F，则构造了△FBD，可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB，可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C。 证明：延长AD交BC于F

在 ABD与 FBD中 ABD FBD

BD BD

ADB FDB 90又

ABD FBD(ASA 2 DFB

DFB 1 C 2 1 C。

思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。

例3. 如图，在 ABC中，AB BC， ABC 90。F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE BF，连接AE,EF和CF。求证：AE CF。

思路：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段

AE为边的 ABE绕点B顺时针旋转90到 CBF的位置，而线段CF正好是 CBF的

边，故只要证明它们全等即可。

证明： ABC 90，F为AB延长线上一点 ABC CBF 90 在 ABE与 CBF中 AB BC

ABC CBF BE BF

ABE CBF(SAS) AE CF。

思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。 小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助

线构造全等三角形。

例4. 如图，AB//CD，AD//BC，求证：AB CD。

思路：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。

证明：连接AC

AB//CD，AD//BC

1 2， 3 4 在 ABC与 CDA中 1 2

AC CA 4 3 ABC CDA(ASA) AB CD。

思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。

例5. 如图，AP,CP分别是 ABC外角 MAC和 NCA的平分线，它们交于点P。求证：

BP为 MBN的平分线。

思路：要证明“BP为 MBN的平分线”，可以利用点P到BM,BN的距离相等来证明，故应过点P向BM,BN作垂线；另一方面，为了利用已知条件“AP,CP分别是 MAC和 NCA的平分线”，也需要作出点P到两外角两边的距离。

证明：过P作PD BM于D，PE AC于E，PF BN于F

AP平分 MAC，PD BM于D，PE AC于E

PD PE

CP平分 NCA，PE AC于E，PF BN于F PE PF

PD PE，PE PF

PD PF

PD PF，且PD BM于D，PF BN于F BP为 MBN的平分线。

思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。

例6. 如图，D是 ABC的边BC上的点，且CD AB， ADB BAD，AE是 ABD的中线。求证：AC 2AE。

思路：要证明“AC 2AE”，不妨构造出一条等于2AE的线段，然后证其等于AC。因此，延长AE至F，使EF AE。

证明：延长AE至点F，使EF AE，连接DF 在 ABE与 FDE中

AE FE

AEB FED BE DE

ABE FDE(SAS)

B EDF

ADF ADB EDF， ADC BAD B 又 ADB BAD ADF ADC

AB DF，AB CD DF DC

在 ADF与 ADC中 AD AD

ADF ADC DF DC ADF ADC(SAS) AF AC

又AF 2AE

AC 2AE。

思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。

例7. 如图，在 ABC中，AB AC， 1 2，P为AD上任意一点。求证：AB AC PB PC。

原图 法一图 法二图

思路：欲证AB AC PB PC，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段AB AC。而构造AB AC可以采用“截长”和“补短”两种方法。

证明：法一：

在AB上截取AN AC，连接PN 在 APN与 APC中 AN AC

1 2 AP AP

APN APC(SAS) PN PC

在 BPN中，PB PN BN

PB PC AB AC，即AB－AC>PB－PC。

法二：

延长AC至M，使AM AB，连接PM 在 ABP与 AMP中 AB AM

1 2 AP AP

ABP AMP(SAS)

PB PM

在 PCM中，CM PM PC AB AC PB PC。

思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。

小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。

同步练习

一、选择题：

1. 能使两个直角三角形全等的条件是( )

A. 两直角边对应相等 C. 两锐角对应相等

B. 一锐角对应相等 D. 斜边相等

B. AB 4，BC 3， A 30 D. C 90，AB 6

2. 根据下列条件，能画出唯一 ABC的是( ) A. AB 3，BC 4，CA 8 C. C 60， B 45，AB 4

3. 如图，已知 1 2，AC AD，增加下列条件：①AB AE；②BC ED；③

C D；④ B E。其中能使 ABC AED的条件有( )

A. 4个

B. 3个

C. 2个

D. 1个

4. 如图， 1 2， C D，AC,BD交于E点，下列不正确的是( )

A. DAE CBE

B. CE DE

D. EAB是等腰三角形

C. DEA不全等于 CBE

5. 如图，已知AB CD，BC AD， B 23，则 D等于( )

A.

67

B.

46

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