数学必备公式zuih

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1． 常用不等式

数学备考之必备公式与定理

① 三角不等式a b a b a b 当且仅当a,b异号时，前边的不等式取“＝” 当且仅当a,b同号时，后边的不等式取“＝” 例1.1：x,y是实数，x+y=x y （1）x 0,y 0 （2）x 0,y 0

②n个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，即

．．

x1 x2 xn

n

当且仅当x1 x2 xn时，不等式取“＝”

a b

a,b R ） 2

a

b

当且仅当a b时，不等式取“＝”，此时

2

特别地，当n＝2

时，有

例1.2：已知x,y均为正整数，若它们的算术平均值为2，几何平均值也为2，求x,y的值

例1.3：已知某厂生产x件产品的成本为c 25000 200x 元售出，则使利润最大的产量是

140

x2(元)，若产品以每件500

(A)2000件　　　(B)3000件　　　　(C)4000件　　　(D)5000件　　　　(E)6000件

2． 比的性质

a

r% ba b

r% a比b大r% b

a是b的r%

a b(1 r%)

原值b，增长率r%，现值a

a比b小r%

b a

r% b

a b(1 r%)

原值b，下降率r%，现值a

例2.1：一个分数的分子减少25%，而分母增加25%，则新分数比原来分数减少的百分率是（ ） (A) 40％ (B) 45％ (C) 50％ (D) 60％ (E) 55％

例2.2：某商品在第一次降价10%的基础上，第二次又降价5%，若二次降价后恢复到原来的价格，则价格上涨的百分率为（ ） (A) 15％ (B) 16％ (C) 17％ (D) 14％ (E) 13％ 3． 比例性质

（基本性质）a:b c:d ad bc

acbd bdacacab

（更比性质）

bdcdaca bc d

（合比性质）

bdbd

（反比性质）（分比性质）

aca bc d bdbdaca bc d

bda bc d

（合分比性质）（等比性质）

acema c e ma ，其中b d f n 0 bdfnb d f nb

例3.1：家中父亲体重与儿子体重的比，恰等于母亲体重与女儿体重的比，已知父亲的体重和儿子体重之和为

125公斤，母亲体重与女儿体重之和为100公斤，儿子比女儿重10公斤，那么儿子的体重是（ ） (A) 40公斤 (B) 50公斤 (C) 55公斤 (D) 60公斤 (E) 65公斤 例3.2：x 1或x 8

(a b)(b c)(c d)

(abc 0)

abc

a b ca b ca b c(2)

cba(1)x

4． 乘法公式

(a b)2 a2 2ab b2

(a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)(a b) a2 b2 (a b)(a2 ab b2) a3 b3

例4.1：有a b c d成立

(1)a2 b2 c2 d2 ab bc cd da 0(2)a b c d 4abcd 0

2

4444

例4.2：多项式f(x)除以x x 1所得的余式为x 3

(1)多项式f(x)除以x4 x2 1所得的余式为x3 2x2 3x 4 (2)多项式f(x)除以x4 x2 1所得的余式为x3 x 2

5． 一元二次方程ax bx c 0(a 0)

2

① 当判别式 b

2

4ac 0时，方程有两个相异实根x 当 0时，方程有两个相等实根x b2a

当 b2

4ac 0时，方程无实根

② 根与系数的关系（韦达定理）：设方程的两个根为x1,x2，则

x ba，xc

1 x21x2 a

例5.1：实数a,b满足a 2b

（1）关于x的一元二次方程ax2

3x 2b 0的两根的倒数是方程3x2

ax 2b 0的 两根 （2）关于x的方程x2

ax b2

0有两相等实根

例5.2：若方程2x2 (a 1)x a 3 0两根之差为1，则a的值是（ ） (A)9和－3

(B) 9和3

(C) －9和3

(D) －9和－3 (E) 9和－2

6． 二次函数y ax2 bx c(a 0)

图像为抛物线，对称轴x

b2a，与x轴的交点坐标是方程ax2

bx c 0的实根 当a 0时，开口向上，x b

2a是最小值点

当a 0时，开口向下，x b

2a

是最大值点

7． 一元二次不等式ax2

bx c 0(a 0)

例7.1：y lg(3 2x x2

)

的定义域为 (A) 2,3

(B) 2,3

(C)

2,1 1

(D)

2,1 1

(E)以上都不对

例7.2：自然数n满足条件4n n2

3 0 （1）自然数n加上2后是一个完全平方数 （2）自然数n减去1后是一个完全平方数

8． 等差数列 an

① 通项公式an a1 (n 1)d

dn (a1 d)

② 前n项和公式Sn(a1 an)

n

2

＝nan(n 1)

1 2

d ＝d2n2 (ad1 2

)n ③ 当m n p q时，am an ap aq

特别地，当n m时，2am ap aq，am称为ap与aq的等差中项 ④Sn,S2n Sn,S3n S2n, 仍成等差数列

例8.1：已知数列 an 的前n项和Sn 4n2 n，则下面正确的是： (A) an 是等差数列 (B) an 2

(C) an 2n 3

(D)S10 411

(E) S4 256

例8.2：若两个等差数列的前n项和之比是(7n 1):(4n 27)，则它们的第11项之比是 (A) 4

(B) 3

(C)

4

33

(D)

4

(E)

23

例8.3：在等差数列 an 中，若S5 30,S10 120，求S15

9． 等比数列 an ① 通项公式an 1n a1q

a1q

qn

an② 前n项和公式S1(1 q)

n 1 q

(q 1)

a1naq 1 q 11 q

③ 当m n p q时，am an ap aq

2

特别地，当n m时，am ap aq，am称为ap与aq的等比中项

④Sn,S2n Sn,S3n S2n, 仍成等比数列

⑤非零常数列c,c, ,c, 既是等差数列又是等比数列

例9.1：已知数列 an 的前n项和Sn 3 2n，则这个数列是： (A)等差数列

(C)既非等差数列，又非等比数列 (E)无法判定

(B)等比数列 (D) 既是等差数列，又是等比数列

例9.2：等比数列 an 中的a5 a1 34，a5 a1 30，那么a3等于（ ） (A)5

(B)－5

(C)－8

(D)8

(E)

例9.3：在等比数列 an 中，已知Sn 36，S2n 54，则S3n等于（ ） (A)63

(B)68

(C)76

(D)89

(E)92

10．加法原理与乘法原理 ①加法原理

完成一件事，有n类方法，在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法， ，在第n类方法中有mn种不同的方法（每种方法都可直接完成这件事情），那么完成这件事共有

N m1 m2 …… mn

种不同的方法 ②乘法原理

完成一件事，有n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法， ，做第n步有mn

种不同的方法（每种方法都不能直接完成这件事情），那么完成这件事共有N m1m2…mn

种不同的方法

例10：某人欲从5种A股票和4种B股票中选购3种，其中至少有2种A股票的选购方法共有 (A)40种 (B)50种 (C)60种 (D)65种 (E)70种

11．排列组合 ①排列

从n个不同元素中，任取m(m n)个元素，按照顺序排成一列，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个排列（排列与顺序有关）

从n个不同元素中任取m(m n)个元素的所有排列的总数，叫做从n个不同元素中任取m个元素的排列数，

用Pnm表示 Pn ②组合

m

n!

(n m)!

从n个不同元素中，任取m(m n)个元素 …… 此处隐藏：6361字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……