1.1.7柱、锥、台和球的体积

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1.1.7柱 1.1.7柱、锥、台和球的体积

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正方体的体积公式 V正方体=a3(这里 为棱长 这里a为棱长 这里 为棱长) 长方体体积公式 V长方体=abc =Sh

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取一摞书放在桌面上， 取一摞书放在桌面上，并改变它们的位 观察改变前后的体积是否发生变化？ 置，观察改变前后的体积是否发生变化？

祖暅原理幂势既同，则积不容异。 幂势既同，则积不容异。

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祖暅原理幂势既同，则积不容异。 幂势既同，则积不容异。夹在两个平行平面间的两个几何体， 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于 这两个平面的任意平面所截， 这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面 的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。 的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。 等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等。 等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等。

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1.棱柱和圆柱的体积 棱柱和圆柱的体积

柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积 和高 的积。 的体积等于它的底面积S和高 的积。 柱体 棱柱、圆柱 的体积等于它的底面积 和高h的积 棱柱

V柱体=Sh底面半径是r高是 的圆柱的体积计算公式是 底面半径是 高是h的圆柱的体积计算公式是 高是

V圆柱=πr2h

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2.棱锥和圆锥的体积 棱锥和圆锥的体积

Sh

1 Sh 3

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2.棱锥和圆锥的体积 棱锥和圆锥的体积

锥体(棱锥、圆锥 的底面积 的底面积S,高是h 锥体 棱锥、圆锥)的底面积 ，高是 。 棱锥

V锥体=

1 Sh 3

圆锥底面半径是r,高是 圆锥底面半径是 ，高是h

1 2 V圆锥= πr h 3

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3.棱台和圆台的体积 棱台和圆台的体积台体(棱锥、圆锥 的上 下底面积分别为S、 ,高是h 台体 棱锥、圆锥)的上、下底面积分别为 、S’,高是 。 棱锥

V台体=

1 h(S + SS' + S' ) 3S’h

圆锥底面半径是r,高是h 圆锥底面半径是 ，高是

1 πh(r 2 + rr'+r' 2 ) V圆台= 3

S

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柱、锥、台体积的关系： 台体积的关系：

S′ = S

S′ = 0

V柱体=Sh

V台体

1 = ( S ′ + S ′S + S ) h 3

1 V锥体= Sh 3

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4.球的体积 球的体积

V球=

4 3 πR 3

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小结V柱体=Sh = π r V锥体=2

h

1 1 V台体= h(S + SS' + S' ) = πh(r 2 + rr'+r' 2 ) 3 3

1 = 1 πr 2h Sh 3 3

4 3 V球= πR 3

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球的体积证明： 球的体积证明：

实验:给出如下几何模型

R

R

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步骤1.拿出圆锥 和圆柱

2.将圆锥倒立放入 圆柱

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3.取出半球和新的几何体做它们的截面

R

结论:截面面积相等 结论 截面面积相等则两个几何体的体积相等

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R

RR

1 V球 2

=

1 2 πR R πR R 32

5.球的体积计算公式： V 球

4 = πR 3

3

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探究S1

R

4 3 1 1 1 1 πR = V球 = RS1 + RS 2 + RS3 + L = RS球面 3 3 3 3 3

球的表面积： 球的表面积： S 球面 = 4πR

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