清华大学高数课件

微积分(二)

2013-7-28

参考书目：1. 《微积分教程》 2. 《一元微积分》韩云瑞等清华大学出版社

萧树铁

主编

高教出版社

3. 《微积分学习指导》韩云瑞等清华大学出版社

4. 《大学数学概念、方法与技巧 》微积分部分2013-7-28

刘坤林等清华大学出版社2

作业P4 习题1.1 2. 4. P17 习题1.2 10(1). 11(2)(5).预习：P8—242013-7-28 3

第一讲 实数与数列极限一、实数的重要性质 二、数列极限2013-7-28 4

一、实数的重要性质

连续模型 建立在实数基础之上因此了解掌握实数的基本性质对于学习 微积分是必要的基础. (一)实数集的有序性 (二)有理数的稠密性 (三)实数集的连续性 (四)实数集的界与确界2013-7-28 5

人类对数的认识由自然数、整数、 有理数到实数

实数集：有理数、无理数的全体 常用集合符号：

自然数集N有理数集Q2013-7-28

整数集Z实数集R6

(一) 实数集的有序性即 对任意a, b R, a b, a b, b a有且仅有一个式子成立.从数轴上看,实数是从小到大依序自左至右 排列的 4 1 O

2

5

x

在做加法和乘法运算时,保持下列关系:

2013-7-28

a b, c d a c b d 0 a, b c a b a c

(二)有理数的稠密性 有理数集是实数集的一个子集有理数在实数集中是稠密的

即在任意两个不同的实数之间,都有无 穷多个有理数或任意非空开区间 (a , b) 含有无穷多个 有理点

这一点具有非常重要的意义2013-7-28 8

问：有理数域布满数轴了吗？设 r1 , r2 Q, r1 r2

有空档！

2 取 r r1 n 这是一个无理数 10 当n足够大时, 有 r1 r r2

(三)实数域的连续性 ——实数域 R 布满数轴

x R0

一一对应

数轴上的点Px

1

x9

O2013-7-28

P

(四)实数集的界与确界存在 1. 有界集 对任意一个 定义： 设 S 是一个数集. 如果 b R,

使得 x S , 有 x b, 则称集合 S 有上界 . 并且称 b 是 S 的一个上界.如果 a R, 使得 x S , 有 x a , 则称集合 S 有下界 . 并且称 a 是 S 的一个 下界 .2013-7-28 10

例如： (1)自然数集合 N {1, 2, 3, , n, }1 是 N 的一个下界 .任意一个 a 1, 都是 N 的下界.N 无上界 .

(2)真分数集0 是一个下界, 1 是一个上界.任意一个 a 0, 都是 下界, 任意一个 b 1, 都是 上界.2013-7-28 11

2. 集合的确界 定义： 数集 S 的最小上界称为上确界.记为 sup S 数集 S 的最大下界称为下确界. 记为 inf S 注意确界和最大值的区别 例如： (1) sup{ 1, 2, 3 } 3 max{ 1, 2, 3 } inf{ 1, 2, 3 } 1 min{ 1, 2, 3 } ( 2) sup[1, 2 ) 2 没有最大值！ inf[1, 2 ) 1 min[1, 2)2013-7-28 12

3. 实数的连续性刻画——确界公

理 (1)如果非空实数集合有上界, 则 必有上确界. (2)如果非空实数集合有下界, 则 必有下确界. [定理]b sup S (1) x S , 有 x b ( 2) 0, x * S , 使得 x * b a inf S (1) x S , 有 x a2013-7-28

( 2) 0, x * S , 使得 x * a 13

(2 [证] 充分性 : (1)、 ) b SupS反证法：假设 b 不是最小上界，则有 c b, 且x c . b c 0, 取0 b c,

则c b . 0, x S , 使x b , x c, 与c是上界矛盾. b SupS

必要性 :

b SupS 1 ( 2)成立 ()、

b是S的上界, x S , 有x b, 又因为

b是最小上界， 0, b 不是S的上 界， x S , 使x b . 2013-7-28 14

有理数集与实数集性质的区别 实数集是连续的,有理数集不是连续的 (1)如果实数集的子集有上(下)界, 则必有上(下)确界. 但是,有理数集的子集有界,则未必 有确界. 2 [例如] S1 { x | x R, x 2 } 2 S2 { x | x Q, x 2 }S1 在实数范围中的上确界 sup S1 2 但是, 在有理数范围中S2 没有上确界

2013-7-28

(2) 想象一个点在实数轴上作连续运动 在每一个时刻这个点所处的位置 都是一个实数, 但不一定是有理数x16

O2013-7-28