第五讲 第4章 线性多步法(续)

第4章 线性多步法

4.1 线性多步法的一般公式

前面给出了求解初值问题(1.2.1)的单步法，其特点是计算的值，此时还用到

的值均已算出.如果在计算 的值，这就是多步法.若记

时只用到

时除用 的值外，

,h

为步长，

，则线性多步法可表示为

其中

为常数，若

(4.1.1)

(即不同时为零)，称(4.1.1)为线性k步

.当

时，(4.1.1)为显

法.计算时用到前面已算出的k个值式多步方法，当算时要用迭代法求

则称(4.1.1)为隐式多步法.隐式方法与梯形方法一样，计.多步法(4.1.1)的局部截断误差定义也与单步法类似.

举例来说，对于初值问题y' y x 1,y(0) 1，步数k=2时，线性多步法表示为

yn 1 0yn 1yn 1 h( 1fn 1 0fn 1fn 1), n 1,2,

当

时，格式为显示的：

yn 1 0yn 1yn 1 h[ 0( yn xn 1) 1( yn 1 xn 1 1], n 1,2, ，

而

时，格式为隐式的：

yn 1 0yn 1yn 1 h[ 1( yn 1 xn 1 1) 0( yn xn 1) 1( yn 1 xn 1 1], n 1,2, 。

定义4.1 设y(x)是初值问题(1.2.1)的精确解，线性多步法(4.1.1)在处的局部截断误差定义为

(4.1.2)

若，则称线性多步法(4.1.1)是p阶的.

在

如果我们希望得到的多步法是p阶的，则可利用Taylor公式展开，将

处展开到

阶，它可表示为

(4.1.3)

注意，(4.1.2)式按Taylor展开可得

经整理比较系数可得

(4.1.4)

若线性多步法(4.1.1)为p阶，则可令

于是得局部截断误差

右端第一项称为局部截断误差主项.

(4.1.5)

称为误差常数.要使多步法(4.1.1)

，由(4.1.4)得

逼近初值问题(1.2.1),方法的阶p≥1,当p=1时，则

(4.1.6)

称为相容性条件.

公式(4.1.1)当k=1时即为单步法，若

,由(4.1.6)则得

式(4.1.1)就是阶.若得

此时(4.1.1)就是由

，由

得

，即为Euler法.此时,为确定

及

，必须令

，方法为p=1,由(4.1.4)

及

即为梯形法.

故p=2,方法是二阶的，与3.1节中给出的结果相同.

实际上，当k给定后，则可利用(4.1.4)求出公式(4.1.1)中的系数并求得

的表达式(4.1.5).

及

，

4.2 Adams显式与隐式方法

形如

(4.2.1)

时为 Adams 显式方法，当

时，

的k步法称为 Adams 方法，当

称为Adams隐式方法.

对初值问题(1.2.1)的方程两端从

到

积分得

显然只要对右端的积分用插值求积公式，求积节点取为即可

推出形如(4.2.1)的多步法，但这里我们仍采用Taylor展开的方法直接确定(4.2.1)的系数

.对比(4.1.1)

可知，此时，只要确定

即为4步的Adams显式方法

即可.现在若k=4且

，

其中为待定参数，若直接用(4.1.4)

，可知此时自然成立，再令

可得

解此方程组得 0 由此得到

于是得到四阶Adams显式方法及其余项为

5559379

1 2 3

24，24，24，24.

(4.2.2) (4.2.3)

若，则可得到p=4的Adams隐式公式，则k=3并令

，由(4.1.4)可得

解得

于是得到四阶Adams隐式方法及余项为

，而

，

(4.2.4) (4.2.5)

一般情形，k步Adams显式方法是k阶的，k=1即为Euler法，k=2为

k=3时，

.

k步隐式方法是(k+1)阶公式，k=1为梯形法，k=2为三阶隐式Adams公式

k步的Adams方法计算时必须先用其他方法求出前面k个初值

才

能按给定公式算出后面各点的值，它每步只需计算一个新的f值，计算量少，但改变步长时前面的

也要跟着重算，不如单步法简便.

例4.1 用四阶显式Adams方法及四阶隐式Adams方法解初值问题

,步长h=0.1

用到的初始值由精确解

计算得到.

解 本题直接由公式(4.2.2)及(4.2.4)计算得到.

对于显式方法，将

直接代入式(4.2.2)得到

其中

.

对于隐式方法，由式(4.2.4)可得到

直接求出

，而不用迭代，得到

计算结果如表所示.

表4-1 Adams方法和Adams

隐式方法的数值解与精确解比较

4.3 Adams预测-校正方法

上述给出的Adams显式方法计算简单，但精度比隐式方法差，而隐式方法由于每步要做迭代，计算不方便.为了避免迭代，通常可将同阶的显式Adams方法与隐式Adams方法结合，组成预测-校正方法.以四阶方法为例，可用显式方法(4.2.2)计算初始近似算f值(Evaluation),(4.2.4)计算

，这个步骤称为预测(Predictor)，以P表示，接着计

，这个步骤用E表示，然后用隐式公式

，称为校正(Corrector)，以C

表示，最后再计算，为下一步计算做准备.整个算法如下：

(4.3.1)

公式(4.3.1)称为四阶Adams预测-校正方法(PECE).

其matlab程序如下

function y = DEYCJZ_adms(f, h,a,b,y0,varvec,type) format long; N = (b-a)/h;

y = zeros(N+1,1); x = a:h:b; y(1) = y0;

y(2) = y0+h*Funval(f,varvec,[x(1) y(1)]); y(3) = y(2)+h*Funval(f,varvec,[x(2) y(2)]); y(4) = y(3)+h*Funval(f,varvec,[x(3) y(3)]);

for i=5:N+1

v1 = Funval(f,varvec,[x(i-4) y(i-4)]); v2 = Funval(f,varvec,[x(i-3) y(i-3)]); v3 = Funval(f,varvec,[x(i-2) y(i-2)]); v4 = Funval(f,varvec,[x(i-1) y(i-1)]);

t = y(i-1) + h*(55*v4 - 59*v3 + 37*v2 - 9*v1)/24; ft = Funval(f,varvec,[x(i) t]);

y(i) = y(i-1)+h*(9*ft+19*v4-5*v3+v2)/24; end

format short;

问题1 （4.3.1）中的第四步在程序中那一行实现了？

利用(4.2.2)和(4.2.4)的局部截断误差(4.2.3)和(4.2.5)可对预测-校正方法(4.3.1)进行修改，在(4.3.1)中的步骤P有

2515(5)

y(xn 1) ynp 1 hy(xn) 720

720

问题2 这个约等式是怎么得来的？什么方法？ 对于步骤C有

195(5)

yn 1 ynp 1 hy(xn)

720720p

两式相减可得 h5y((5xn)) (yn 1 yn 1)

270

于是有

若用

代替上式

,并令

显然为

下面给出修正的预测-校正格式(PMECME).

比

更好，但注意到

的表达式中

是未知的，因此改

(4.3.2)

经过修正后的PMECME格式比原来PECE格式提高一阶.

问题3 试着编出该程序！！

4.4 Milne方法与 Hamming方法

与Adams显式方法不同的另一类四阶显式方法的计算公式形如

这里

(4.4.1)

时要用到

为待定常数，此公式也是k=4步方法，即计算

4个值.为了确定

，当然可以利用公式(4.2.1)直接算出，

,使它的阶尽量高.方法

但下面我们直接利用Taylor展开式确定,(4.4.1) …… 此处隐藏：4341字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……