高中数学12-7 正态分布

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考纲要求 利用实际问题 的直方图，了 解正态分布的 特点及曲线所 表示的意义.

考情分析 通过近三年高考试题来看，正态分布主 要考查正态总体在某一区间内的概率， 通常以选择、填空题形式出现，题目较 易或中等.如2012年课标卷5将正态分布 与相互独立事件的概率结合起来考查， 可以说是一个新的命题方向. 预测：2013年高考可能会增加正态曲线 难度的考查，仍延续选择或填空题形式.

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(对应学生用书P218)1.正态曲线的定义

函数φμ,σ(x)=

,x∈(-∞,+∞),其中实

数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ,σ(x)的图象(如图)为正态分布密 度曲线，简称正态曲线.

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与名师对话2.正态曲线的性质

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(1)曲线位于x轴上方 ，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=μ 对称；

x=μ 处达到峰值 1 ; (3)曲线在 σ 2π(4)曲线与x轴之间的面积为 1 ; (5)当σ一定时，曲线随着 μ 的变化而沿x轴平移，如图甲 所示；

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(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小 ，曲线越“瘦 高”,表示总体的分布越集中；σ 越大 ，曲线越“矮胖”,表 示总体的分布越分散，如图乙所示.

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问题探究：参数μ,σ在正态分布中的实际意义是什么？ 提示：μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差.

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与名师对话3.正态分布 (1)正态分布的定义及表示

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如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足P(a<X≤b)

∫bφμ,σ(x)dx ,则称X的分布为正态分布，记作N(μ,σ2). = a(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ-σ<X≤μ+σ)= 0.6826 ②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)= 0.9544 ③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)= 0.9974 . ; ;

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(对应学生用书P218)1.若连续型随机变量ξ服从正态分布，即ξ~N(μ,σ2),则 E(ξ)=μ,D(ξ)=σ2,这里μ,σ的意义是期望和标准差.μ在正 态分布曲线中确定曲线的位置，而σ确定曲线的形状.如果给 出两条正

态分布曲线，我们可以根据正态分布曲线的位置和 形状判别相应的μ和σ的大小关系. 2.正态曲线关于直线x=μ对称，从而在关于x=μ对称的 区间上概率相等.正态曲线与x轴之间面积为1.课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业

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若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函 1 数的最大值为 . 4 2π (1)求该正态分布的概率密度函数的解析式； (2)求正态总体在(-4,4]的概率.

【思路启迪】 要确定一个正态分布的概率密度函数的 解析式，关键是求解析式中的两个参数μ,σ的值，其中μ决定 曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关.课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业

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【解】

(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函

1 1 数，所以其图象关于y轴对称，即μ=0.由 = ,得σ 2πσ 2π· 4 =4,故该正态分布的概率密度函数的解析式是 1 x2 φμ,σ(x)= e- ,x∈(-∞,+∞). 4 2π 32 (2)P(-4<X≤4)=P(0-4<X≤0+4) =P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6.

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解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线 的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响.

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设两个正态分布N(μ1,σ 2 )(σ1>0)和N(μ2,σ 2 )(σ2>0)的密度 1 2 函数图象如图所示，则有 A.μ1<μ2,σ1<σ2 B.μ1<μ2,σ1>σ2 C.μ1>μ2,σ1<σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2 ( )

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解析：根据正态分布N(μ,σ2)函数的性质：正态分布曲线 是一条关于直线x=μ对称，在x=μ处取得最大值的连续钟形 曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越 小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A.

答案：A

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求正态总体X在某区间内取值的概率的基本方法有： (1)利用3σ原则：注意把给出的区间或范围与正态变量的 μ,σ进行对比，联系确定属于(μ-σ,μ+σ)(μ-2σ,μ+2σ)(μ -3σ,μ+3σ)中的哪一个，P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6; P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4; P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4; 这三个概率值是已知的，把所求的问题转到这三个区间 内解决.课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业

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(2)充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质. 正态曲线关于直线x=μ对称，从而在关于直线x=μ对称 的区间上，概率相等.

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设X~N(1,22),试求 (1)P(-1<X≤3); (2)P(3<X≤5); (3)P(X≥5).【思路启迪】 将所求概率转化到(μ-σ,μ+σ].(μ- 2σ,μ+2σ]或[μ-3σ,μ+3σ]上的概率，并利用正态密度曲线 的对称性求解.

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