论拉格朗日中值定理的应用

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途撬◎吴丽华 (辽源职业技术学院 1 3 6 2 0 1 )

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【摘要】本文论述拉格朗日中值定理在理论与实际中的应用，结合典型的例题，论述微积分学的内在联系与解决实际问题的技巧.一

八6 ),显然 _厂 ( )在[ n, c]上满足拉氏定理条件，于是至少存在

个 (。, 6 )[(。,。 ),使/( ):

二

> 0 .

【关键词】拉格朗日中值定理；可导；连续一

同理可证， ( c )<厂 ( o )= 6 )的情形 .三、积分学部分

、

引言

I .用定积分定义计算定积分的命题

在高等数学微分学中值定理中，拉格朗日定理是罗尔定理的推广及柯西定理的特例，因此，它在应用上就具有一定的广泛性与灵活性，下面从几个方面进行了探讨. 二、微分学部分一

用定积分定义计算 J f 一 d . o l+解在[ 0, I]内插入 n—1个分点 0= 。<。< <…< = 一 < =1,将[ 0, I]分成 n个小区间[一 ,],

1 .论述函数有界的命题设函数 )在区间(。, 6 )内可导，厂( )在(。, 6 )内有界，试证函数 ( )在区间 ( o, 6 )内有界 . 证 . _尸( )在( o, 6 )内有界， .’ .j M> 0,使得V ∈(。, 6 ),均有 I _厂( ) I≤M.因为f ( )在( a, 6 )内可导，则f ( )在 ( o, b )内连续，记(。, b )的中点为。,则f (。 )有意义，即

( i=I, 2,…, n ) .设函数 f ( )=I n ( I+ ),则f ( )在区间

[一。,]上满足拉氏定理条件，于是至少存在一个 f [ , 。],使得n (¨ - )一 n (+ x i _ t )=厂( t ) 求和：

=

∑/ ( )

l ) I是一个确定的值 .在 ( n, 6 )内任取异于 X 0的点 ,在以‰和为端点的闭区间上，应用拉氏定理得 f ( )一 , ( x。 )=,( ) ( x—。 ), 在。和之间，所以I f ( )I— I f ( 。 ) I≤I厂 ( )一

厂 _ ( 。 ) l=I厂( )l I (一。 ) l≤M ( b一口 ),

=

∑[ 1 n ( 1十 )一 I n ( 1+￣" i - 1 )]I n ( 1+ 1 )一I n ( 1+ 0 )+ l n ( 1+ 2 )一I n ( 1+ 1 )+I n ( 1+ )一I n ( 1+ 一 1 )

=

=

得 l ) I≤ ) l I l 6一 ,该式对 也成立，故-厂 ( )在( o, 6 )内有界 .

I n ( 1+ )一I n ( 1+ o )=l n 2 .j _ d x=l i aV=l r n 2 .^ o

‘ . .

J o l+

2 .论证有关等式成立的命题设函数， ( )在[。, b]上连续，在(, b )内/, ( )存在，又

2 .论证积分不等式的命题设函数， ( )在[ 1 7,, b]上连续，在(Ⅱ, b )内可导，且， ( o )= 0,

连接 A( a,, ( n ) ), B ( 6 ', ( 6 ) )两点的直线交曲线 Y:, ( )于C ( C,, ( c ) )点，且。< C<b,试证在 ( n, 6 )内至少存在一点， 使得厂( )= 0 . 证理有

_厂 ( )≤ M ( M为常数 ),证明：上 ) ≤÷ M ( 6一 n ) 证明’

’ .’ f ( )在[。,] (。<≤b )上满足拉氏定理，

由题意，对， ( * )在[ o, b],[ c, b]上分别利用拉氏定

.

.

厂 ( )- f (。 )=/( ) (一。 ), ( n, ) .‘

‘ .

_厂 (。 )= 0 ( )≤M,_, )≤M( —o ) .

’ . .

。

):

e a, c ) ( 6, c ) .

从而有

厂(: )= - f

,

≤ M o ) d =等∥ I ( 6 _∥,0 1

因为 A, B, C在一条直线上，所以有 _厂( )=厂( ),因而厂( )在[,]上满足罗尔中值定理，于是 (Ⅱ, 6 ),使得厂( )= 0 . (, z )c

故f ) d x≤÷ ( 6一口 ) 2 .【参考文献】 [ 1]华东师大数学系.数学分析.北京：高等教育出版社， 2 0 0 5 .

3 .论证有关不等式成立的命题设不恒为常数的函数， ( )在闭区间[ o, 6]上

连续，在开区间(。, 6 )内可导，且f (口 )= _厂 ( 6 ),证明在 ( n, 6 )内至少存

在一点，使得厂( )>0 .证因为 _厂 ( o )=, ( b ),且f ( )不恒为常数，所以至少存

[ 2]武术胜，刘贞民.高等数学 .长春：吉林大学出版社， 2 0 1 0 .

在一点 c∈( o, b ),使厂 ( c )≠, (Ⅱ )=厂 ( 6 ),不妨设 .厂 ( C )>, ( o )数学学习与研究 2 0 1 1 . 1 7

[ 3]侯风波.高等数学.上海：上海大学出版社， 2 0 0 9 .