微分中值定理的解题应用

职业教育

微分中值定理的解题应用

邢建平

徐湘云

（湖南广播电视大学）

摘要：微分中值定理是整个微分学的理论基础，它们建立了函数值与导

数值之间的定量联系。本文介绍了微分中值定理在证明恒等式，证明不等式，

讨论方程根的存在性等方面的应用。

关键词：微分中值定理解题应用0引言

以罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组微分中值定理是整个微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理。它们建立了函数值与导数值之间的定量联系，掌握好微分中值定理的应用，有些问题就会变得迎刃而解，下面介绍微分中值定理的在证明

证明不等式、讨论方程根的存在性等方面的应用。恒等式、

1证明恒等式

函数f(x)在区间I上可导且f'(x)≡0，=>f(x)为I上的常值函数。反之也成立。

.x≥1）例1证明恒等式:arctanx=-1arcsin2x2+π（

21+x2

证明：我们要证明的是

f(x)=arctanx+1arcsin2x2+π

21+x2

对f(x)求导得

，由此即可推出欲证明的不等式。

柯西中值定理是研究两个函数的变量关系的中值定理，当一个函数取自变量自身时，它就是拉格朗日中值定理，所以能用拉格朗日中值定理证明的不等式一定能用柯西中值定理来证明，反之则不然。

α

例3设x>0，对0<α<1的情况，求证x-αx≤1-α.证明：当x=1时结论显然成立，当x≠1时，取[x，1]或[1，x]，在该区间上设

，由柯西中值定理得：

∈(x，1)或∈(1，x)

即

1)，>1，当x<1时，∈(x，

α

即x-1>1，αx-α又αx-α=α（x-1）<0，

α

即xα-αx<1-α故x-1<αx-α，

当x>1时，∈(1，x)，<1，αx-α=α（x-1）>0，

αα故x-1<αx-α，即x-αx<1-α由此，不等式得证。3讨论方程根的存在性例4证明方程（a，b，c为常

所以f(x)在(1，+∞)为常数，又

数，且a>0）在（0，1）内至少有一个实根。

π即f(x)≡f(1)=（x≥1）证明：令=0，只要证明方程2

f(x)=0在（0，1）内至少有一个实根即可。2证明不等式

又f(x)是的导函数，即利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明，将欲证明的不等

F'(x)=f(x)，又F(0)=F(1)=0，对F(x)利用罗尔定理得，存在∈式变形，使之化为

(0，1)，使得=0，即f(x)=0在（0，1）内至少有一个实根。

M<f(b)-f(a)<N（或M<f(b)-f(a)<N）

掌握好了以上微分中值定理的三类基本解题应用，求解其它相b-aF(b)-F(a)

（或f(x)及F(x)）在区间[a，b]上满足拉格朗日关问题时就能得心应手。的形式，且其中f(x)

中值定理或柯西中值定理的条件，再证明对一切x∈(a，b)有

比如：讨论函数在(0，+∞)上的单调性时，就涉及

M<f'(x)<N(或M<f'(x)<N)

F'(x)到f'(x)>0（或f'(x)<0）的问题。考虑到该函数为幂指数函数，求导计算

于是利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理即可证得。复杂，即使求出导数，也不容易直观地看出f'(x)>0还是f'(x)<0.因此

n-1nnn-1

例2设a>b>0，n>1，证明不等式:nb(a-b)<a-b<na(a-b).可考虑用拉格朗日中值定理简化判断f'(x)>0（或f'(x)<0）的过程。

nn

参考文献：

证明：将上述不等式变形为nbn-1<a-b<nan-1

a-b[1]张奠宙.微积分教学：从冰冷的美丽到火热的思考[J].高等数学研究.

令f(x)=xn，f(x)在[b，a]上连续，且在(b，a)上可导，则由拉格朗2006.03.

nn

2007.02.[2]米永生.线性代数与微积分问题与解法的渗透[J].大学数学，

日中值定理可得a-b=，其中∈(b，a)，显然有

a-b[3]温旭辉.对高等数学中基本概念的剖析[J].职业时空，2007.19.（上接第157页）

此，课程改革一个很重要的方向就是改变或改善学生的学习方式。教生将来从事本专业岗位的“榜样”，然后才是学生的管理者、教育

“双师型”、“复合型”教师才能够胜任生物技术及应用专而只有师要开展有效的教学活动，从而起到减负增效的作用，能够让学生把者，

努力加强建设所学知识运用到社会实践之中。结合职业培养目标与生物技术及应业的教学工作。学校应该重视专业教师的全面发展，

、“复合型”师资队伍。鼓励教师参加教师“岗位”技术培训理论和实践课教“双师型”用专业的特点，面向岗位需求，从课程方案的制订、

保证知识技能的不断更新；鼓励教师参加与岗位相对应的学方法、“双师型”队伍建设等几个方面入手进行专业课程改革。以职和进修，

业生涯为目标确定改革方向，以工作过程为主线确定课程结构，以工技术等级和技术水平考试；鼓励教师参与应用型课题的开发与研

加强与企业的联系与合作。“双师型”队伍的建设是专业建设的作任务为引领确定课程设置，以职业能力为基础确定课程内容。专业究，

绝不是为完成评估要求凑数据式的短期行为，学校应把人才培养方案要切合实际，有利于专业的发展，适应企业的要求，与重中之重，

“双师型”师资建设作为一项长期性工作来抓。只有队伍建设好了，职业标准相结合。

教育质量才能有保证，培养出来的毕业生才能得5.3进一步明确岗位定位专业发展方向明确化，知识结构系统教学才能有特色，

到社会的认可和欢迎，这才是生物技术及应用专业长远的生存和化，有利于学生的就业。

5.4注重教师的全面发展专业教师在教学中的角色首先是学发展之道。

158