人教版-高中数学选修1-1-第二章 2.2.2 双曲线的简单几何性质

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杏坛中学

高二数学备课组

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焦点在x轴上的双曲线的几何性质标准方程：

几何性质： 1.范围： x≥a或x≤-a

x y 2 1 2 a b

2

2

Y B2F1 A1

A2 F2 o X B1

2、对称性： 关于x轴，y轴，原点对称。 3、顶点: A1(-a,0),A2(a,0) 4、轴：实轴 A1A2 =2a, 虚轴 B1B2=2b. b x 实验(1) 5、渐近线方程： y a c e 6、离心率： a

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焦点在x轴上的双曲线草图画法Yx2 y2 2 1 2 a b

B2

F1

A1

A2

F2

X

B1

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焦点在y轴上的双曲线的几何性质 y2 x2 Y F 标准方程： 2 2 1 a b B A A 几何性质： o B X 1、范围： y≥a或y≤-a F 2、对称性： 关于x轴，y轴，原点对称。 3、顶点： B1(0,-a),B2(0,a) 4、轴：实轴 B1B2=2a ; 虚轴 A1A2=2b. a 5、渐近线方程： y x b 什么是等轴双曲线？ 实验(2) c 6、离心率： e a2 1 2 2 1 2

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焦点在y轴上的双曲线图像Y F2 A2y2 x2 2 1 2 a b

B1

OA1 F1

B2

X

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例题1:求双曲线 9 y 16 x 144 的实半轴长,虚半轴长,2 2

焦点坐标,离心率,渐近线方程。

解: 把方程化为标准方程得,可得:实半轴长: a=4 虚半轴长: b=32 2

y x 2 1 2 4 3

2

2

半焦距: c 4 3 5 焦点坐标是: (0,-5),(0,5)

离心率:

4 渐近线方程: y x 3

c 5 e a 4

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例题1:求双曲线 9 y 16 x 144 的实半轴长,虚半轴长,2 2

焦点坐标,离心率,渐近线方程。 说明: 渐近线方程有两种形式, b (1)当焦点在x轴上时, y x; a a (2)当焦点在y轴上时, y x. b 求渐近线方程最简捷的办法 是令常数项为零再分解因式

解:

令9 x 2 16 y 2 0得(3 y 4 x)(3 y 4 x) 0

4 故所求渐近线方程为: y x 3

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标准方程 x 2 8 y 2 32 9 x 2 y 2 81 x 2 y 2 -42a 2b 范围 顶点 焦点 离心率 渐近线

x2 y2 1 49 25

8 2

6 18|x|≥3

4 4

4| x | 4 2

10 14|y|≥5

4

2 ,0

|y|≥2

(±3,0) (0,±2) (0,±5)10 ,0

6,0 33 2 e 4

0, 2 2 0, e 2e

7474 5

e 10y=±3x

2 y x 4

y x

5 y x 7

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例2 双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线的一部 分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的最小半径为12m, 上口半径为13m,下口半径为25m,高55m,选择适当 的坐标系,求出双曲线方程. y 13 建立如图直角坐标系,使小圆直径AA' C C 解: 12/

在x 轴上,圆心与原点重合,这时上、下 口的直径CC',BB'平行于x轴。

A/ O/

A

x

25 B 且 | CC'| 13 2(m), | BB'| 25 2(m). B 2 2 x y 设双曲线方程为 2 2 1(b 0, ), 点C (13, y ). 12 b2 2 132 y 2 25 2 ( y 55) 2 y 1或 则点B(25, y 55), x 2 1. 2 1得19b 275 b 18150 0 2 2 2 代入双曲线方程为 2 122 b 12 b 12 b 5b 联立方程组解得, y (负值舍去) x 2 y2 用计算器得b 25(m),12 双曲线

方程为 2 2 1 12 25

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x y b 渐近线方程 y 2 1 2 : a b a2 2

方程

x

y x 1 a ya b x b2 2 2

2

图形

Y B 2F1 A 1 o A2 B1 F2A1

Y F 2 B2 o B 1 F2 A2 X

X

范围

x a, x aA1 ( a,0), A2 (a,0)c e (e 1) a

y a, y aB1 (0, a ), B2 (0, a )c e (e 1) a

对称性 关于x轴，y轴，原点对称 关于x轴，y轴，原点对称

顶点 离心率

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例3 点M ( x, y)与定点F (c,0)的距离和它到定直线a2 c l : x 的距离的比是常数 (c a 0), 求点M的轨迹方程. c a 如图，设d是点M到直线l的距离， 解： 依题意得点M的集合为

(c a ) x a y a (c a ) 2 2 x y 2 2 2 令c a b 得 2 2 1(a 0, b 0) a b2 2 2 2 2 2 2 2

| MF | c P {M | } d a 2 2 ( x c) y c 2 a a | x | c

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双曲线第二定义定义：

准线方程：

离心率