9-1,2-多元函数的概念极限和连续

§9.1多元函数的概念 (1)邻域的圆形邻域：平面上 M 0 ( x0 y0 )的圆形邻域：矩形邻域：矩形邻域：{ M ( x, y )| x x0|<<δ,| y y0|<δ},δ> 0

δ

M0

S ( M 0,δ )={ M ( x, y )| ( x x0 )2+ ( y y0 )2<δ},δ> 0

去心(空心)邻域：去心(空心)邻域：S0 ( M 0,δ )={ M ( x, y )| 0< ( x x0 )2+ ( y y0 )2<δ},

{ M ( x, y ) 0<| x x0|<<δ, 0<| y y0|<δ}

以后更经常使用圆形邻域，以后更经常使用圆形邻域，在定义和定理中两者互换更经常使用圆形邻域不影响问题的本质

(2)开集、闭集平面点集 E R 2={( x, y )| x∈ R, y∈ R}, M ( x, y ) (1)如果 δ> 0, S ( M,δ ) E,则称 M为 E的内点；如果内点； (2)如果 δ> 0, S ( M,δ )∩ E=Φ则称 M为 E的外点；如果外点； (3)如果 δ> 0, S ( M,δ )∩ E≠Φ, S ( M,δ )∩ ( R 2 E )≠Φ,如果则称称 M为 E的边界点；边界点； (4)内点属于 E,外点不属于 E,边界点不一定；内点属于边界点不一定； (5)边界点的全体成为边界；边界点的全体成为边界；边界点的全体成为边界

(6)如果 M∈ E, M为 E的内点，则 E为开集；如果的内点，开集； (7)如果 R 2 E为开集，则 E为闭集；如果为开集，闭集； (7)’如果 E的边界包含于 E,则称其为闭集；则称其为闭集闭集； (8)Φ和 R 2都同时是开集和闭集。都同时是开集和闭集。

(3)连通，区域，有界(1)如果 E中的任意两点可以用完全含于 E的折线段如果连接起来，则称其为连通的连接起来，则称其为连通的；连通 (2)连通的开集成为区域(域),连通的闭集称为闭域；连通的开集成为区域域，连通的闭集称为闭域闭域；连通的开集成为区域 (3)无洞的连通区域称为单连通的，无洞的连通区域称为单连通的否则为多连通的；无洞的连通区域称为单连通否则为多连通的多连通 (4)如果 E含于某一个有限个圆心在原点的圆(的如果含于某一个有限个)(圆心在原点的一个(有限个圆心在原点的)圆的并集),则称其为有界的否则称为无界的并集，则称其为有界的，否则称为无界的。有界无界

区域的表示(1)不等式组);不等式(组； (2)指定曲线围成。指定曲线围成。 (3)请做图分析{( x, y )| 1< x 2+ y 2< 4}.{( x, y )| 1≤ x 2+ y 2≤ 4}.

{( x, y )| x+ y> 0}

(4)聚点

是平面上的一个点集，设 E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点，一个点，如果点 P的任何一个邻域内总有无限聚点.多个点属于点集 E,则称 P为 E的聚点，内点一定是聚点；☆内点一定是聚点；边界点可能是聚点；☆边界点可能是聚

点；点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E,也可以不属于E.☆点集的聚点可以属于，也可以不属于 .例{( x, y )| 0< x 2+ y 2≤ 1} (0,0)既是边界点也是聚点.既是边界点也是聚点.既是边界点也是聚点

(5) n维空间n∈ N R n= R× R× × R={( x1, x2, , xn )| xi∈ R, i= 1, 2, , n}

距离公式P ( x1, x2, , xn ), Q( y1, y2, , yn ), d=| PQ|= ( y1 x1 )2+ ( y2 x2 )2+ + ( yn xn )2

类似地可以定义邻域，开集等概念。类似地可以定义邻域，开集等概念。

(6)多元函数的定义f:D→ R P u= f (P) D Rn

二元，二元，三元函数也经常写成 z= f ( x, y) u= f ( z, y, z )

arcsin( 3 x 2 y 2 )的定义域.例1求 f ( x, y )=的定义域. 2 x y解

3 x2 y2≤ 1 x y2> 0

2≤ x 2+ y 2≤ 4 2 x> y所求定义域为 D={( x, y )| 2≤ x 2+ y 2≤ 4, x> y 2}.

例2求下列函数的的定义域并且画出图形1) z= 4 x y2 ln(1 x 2 y 2 )y x

2) z= arcsin1 x y

y x

3) z=

4) z=

5) z= x y 2x 1 x2 y2

6) z= arcsin( x+ y ) 7) z= ln( y x )+

2

2

1) z=

4 x y2 ln(1 x 2 y 2 )

{( x, y ) 0< x2) z= arcsin y x

2

+ y 2< 1, y 2≤ 4 x

}

{( x, y ) x> 0, x≤ y≤ x}∪{( x, y ) x< 0, x≤ y≤ x}

(7)二元函数的图形：曲面

z= f ( x, y)

z= sin xy

x2+ y2+ z2= a2D={( x, y ) x 2+ y 2≤ a 2}.

z

o

y

z= a2 x2 y2x

z= a x y .

2

2

2

§9.2多元函数的极限和连续定义 1设函数 z= f ( x, y)的定义域为 D, P0 ( x 0, y 0 )是其聚点，如果对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得对于适合不等式 0<| PP0|= ( x x 0 ) 2+ ( y y 0 ) 2<δ的一切点，都有| f ( x, y ) A|<ε成立，则称 A为函数 z= f ( x, y )当 x→ x 0, y→ y 0时的极限，记为 lim f ( x, y )= Ax→ x0 y→ y0

(或 f ( x, y )→ A (ρ→ 0)这里ρ=| PP0|).

点函数形式描述的多元函数极限定义 2设 n元函数 f (P )的定义域为点集 D, P0是其聚点，如果对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得对于适合不等式 0<| PP0|<δ的一切点 P∈ D,都有| f ( P ) A|<ε成立，则称 A为 n元函数 f (P )当 P→ P0时的极限，记为 lim f ( P )= A .P→ P0

说明的方式是任意的； (1)定义中 P→ P0的方式是任意的； ) (2)二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x, y ); )x→ x0 y→ y0

(3)二元函数的极限运算法则与一元函数类似.(4)区别二重极限和二次极限