张量分析(最后附题目)

张量分析附题目

引言标量(Scalar ) (广义):只有大小没有方向的量能量、质量、功。。。。在坐标变换时其值保持不变的量，即满足′′′ ( x1, x2, x3 )= ′( x1, x2, x3 )矢量(Vector) (广义):既有大小又有方向的量重力、速度，加速度，动量。。。。几何表述：有向线段代数表示：有序数组

r r r r x= ( x1, x2, x3 )= x1e1+ x2 e2+ x3e3

或简写为：x i (i=1,2,3)标量只需一个量就可确定，而矢量则需三个分量来确定。 1

张量分析附题目

◆许多物理规律用公式表示出来都是矢量之间的等式，例如：

r r F= ma

→

S=V t标量

→

P= mV

→

→

??规律：分量 F1= ma 1形式 F2= ma 2 F3= ma 3

F1 a1 F2 = m a 2 F3 a1 一阶张量

通光

矢量间关系不为标量，例如

液晶显示器电光效应 (扭曲向列相液晶TN或者STN)特征：液态晶的折射率随液晶的方向而改变，介电常数亦不同 n=ε rμ r遮光

张量分析附题目

电介质(绝缘体)的极化

外电场作用下，电介质显示电性的现象

1.电介质的电结构一般分子内正负电荷不集中在同一点上所有负电荷→负重心所有正电荷→正重心两类电介质有极分子两重心不重合 r r p= ql每个分子无极分子两重心重合每个分子

—电偶极矩

H2O

r p=0

电偶极子(electric dipole):两个相距很近的等量异号点电荷组成的系统。电偶极子的特征用电偶极距P=lq描述，其中 l是两点电荷之间的距离，l和P的方向规定由-q指向+q.电偶极矩就是电偶极子在单位外电场下可能受到的最大力矩

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2.电介质的极化现象(对各向同性、线性电介质)

r E外= 0

无极分子电介质的极化:±±±±±±±±

r Eo

电中性

r∑p≠ 0

位移极化

束缚电荷r Eor E外↑强，排列越整齐 p

r有极分子电介质的极化: E外= 0 r∑pi= 0F

端面上束缚电荷越多，电极化程度越高。取向极化束缚电荷:电荷被紧密地束缚在局域位置上，不能作宏观距离移动，只能在原子范围内活动

张量分析附题目

(对各向同性、线性电介质)电极化率，表征了电介质的性质 r r对各向异性、非线性电介质，并不和 E简单成正比， P其方向也不一定平行，“电极化率”不是一个简单的数。 r r r P当 E不太强时，和 E的对应关系仍然是线性关系，可以用分量表示为：

r r∑ pi单位体积内所有分子电极化强度矢量：P=的电偶极矩矢量和ΔV r r P=αE

3.电介质的极化定律

P1=α 11 E1+α 12 E2+α 13 E3 P2=α 21 E1+α 22 E2+α 23 E3 P3=α 31 E1+α 32 E2+α 33 E3

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或缩写为: (i=1,2,3)各向异性电介质的电极化率可以用九个数αij (i=1,2,3)表示，它有两个下标i,j,所以称为二阶张量。j=1

Pi=

∑α ij E j

3

或者

D=ε ij j (i,j=1,2,3) E iD1=ε 11 E1+ε 12 E 2+ε 13 E 3 D2=ε 21 E1+ε 22 E2+ε 23 E3 D3=ε 31 E1+ε 32 E2+ε 33 E3

→

→

介电常数二阶张量九个分量 (i,j=1,2,3)

或缩写为:

Di=∑ε ij E jj=1

3

液晶分子有三个轴方向的介电常数，其中两个的介电常数近似的相等。两个方向的折射率是不同的，沿着长轴方向的折射率要比沿着短轴方向的折射率大 4

张量分析附题目

第1节矢量知识矢量代数有大小、有方向，且服从平行四边形运算法则的量。矢量的表示方法图示法:

A

线段长度(大小);箭头(方向).手书印刷v A

A

(附有箭头)

(用黑体字，不附箭头)矢量的模，表示大小

解析法:

v vv A= A eA

v e A单位矢量，表示矢量方向

张量分析附题目

矢量称为一阶张量矢量分量的值与坐标系的选择有关r S矢量在坐标系Ox1x2x3的分量(投影):

ξ1,ξ 2,ξ 3 r′的分量(投影):′ S矢量在坐标系 O′x 1′ x 2 x 3ξ1′,ξ 2′,ξ 3′′ x3

x3

在不同的坐标系中，同一矢量的分量有不同的值矢量客观的物理量，与坐标系的人为选择无关

r P′ S P矛盾

′ x2

O′解决这一矛盾的方法是规定矢量分量在坐标变换时的变换规 O律。知道了这一变换规律，只要在一个坐标系中给出某一矢 x1 x′ 1量的分量，也就等于在任意坐标系中都给出了它的分量。这样给出的矢量就是一个与坐标系无关的客观物理量。

x2

5

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2常用总体坐标系(正交系)zO

(x0 y0 z0)

·

z (ρ0 0 z0)

·

θO

·(r r

0

θ0 0 )

y

x

x

O

ρ

y

x

直角坐标系

柱坐标系

v e v A

v v v e x, e y, ez v v v Ax, Ay, Az

v v v eρ, e , e z曲线 v v v正交 Aρ, A , Az

球坐标系

特点顺时针轮换 a坐标曲线相互正交，且符合右手定则

或

v v v e1, e2, e3 v v v A1, A2, A3

坐标系

v v v er, eθ, e v v v Ar, Aθ, A

1 3 2

v v v v v v v v v e1× e2= e3 e2× e3= e1 e3× e1= e1

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直角坐标系(笛卡尔坐标系:Cartesian coordinates )右手坐标系： r如果由 e1按右手螺 r r旋旋转到 e2可以得到 e3左手坐标系： r如果由 e1按左手螺 r r e2 e3旋旋转到可以得到 b .矢量不变特性

r e3

r e1

r e2

r e3

r e1

r e2

张量分析附题目

3三种正交系的相互关系z直角 x,y,z X=ρcos = rsinθcos Y=ρsin = rsinθ sin rθ(γ)

·

Z=rcosθ圆柱ρ, (0~2π),z

ρ= rsinθ = arc tg(y/x)= arc cos(z/r) z=z y球 r,θ(极角 0~π), (方位角0~2π) r2= x2+ y2+z2=ρ2+ z2

α x

β

ρ

cosα= (x/r) cosβ= (y/r) cosγ= (z/r) cos2α+cos2β+cos2γ= 1

张量分析附题目

●

基失或矢量分量的转换

圆柱坐标系与直角坐标系间的转换 aρ cosφ aφ = sinφ a 0 z sinφ cosφ 0 0 0

1 a x a y a z

球坐标系与直角坐标系间的转换 a r sinθ cosφ aθ = cosθ cosφ a sinφ φ sinθ sinφ cosθ sinφ cosφ cosθ sinθ 0 a x a y a z

张量分析附题目

、

ar

aθ

aφ

球坐标的三个单位矢量在x,y和z的投影

张量分析附题目

圆柱坐标系与球坐标系间的转换 a r sinθ aθ = cosθ a 0 φ 0 cosθ 0 sinθ 1 0 aρ aφ a z

张量分析附题目

●

矢量微分元

线元，面元，体元v v v v例：∫ F dl,∫ B dS,∫ρ dVv v其中：dl, dS dV称为微分元。

v dl

v dS

A.直角坐标系在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z),如图，做一微分体元。 v v r r线元： dlx= dxa x面元： dS x= dydzax v v r r dS y= dxdza y dl y= dya y v r v r dS z= dxdyaz dlz= …… 此处隐藏：1879字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……