二维热传导有限元

用ANSYS做的一个关于热传导的问题!!!

二维热传导有限元分析学 院：理 学 院 姓 名：邓 高 明 学 号：20091078 日 期：2010.6.27

用ANSYS做的一个关于热传导的问题!!!

一、引言 对于一般热传导问题，我们关心的是温度在 介质内如何随位置而变化的，不管这种变化是由 介质的边界条件引起的，还是由介质内部的热源 产生的。我们希望确定系统中包括边界在内的不 同点上的热流量。 二、热力学基本概念： 热量通过三种方式传递：热传导，热对流， 热辐射。热传导是指由于介质内部存在温度梯度 而引起的热交换，且能量通过分子运动从高温区 传递到低温区。在二维直角坐标系下，热传递率 遵循傅里叶定律：

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其中 分别为X和Y方向的热传递率，k为介质的 热传导系数，A是介质的横截面面积， 为温度 梯度。傅里叶定律也可表示为单位面积上的热传递率：

其中，分别称为X,Y方向的热流量。 当运动的流体接触到温度不同的表面时就会出现 热传递。流体和表面间的总热传递率有牛顿冷却描 述： ,其中，h是热传递系数(可由试 验 得到),Ts是表面的温度，Tf是流动流体的温度。

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所有的物质都会发出热辐射。只要所讨 论的物体的温度在有限的范围，这个规律就 是正确的，表面发出的能量由以下方程确 定： ,其中，q//表示表面发出的单 位面积上的热流率，ε为表面的辐射率，且0 <ε﹤,σ为斯特潘-波尔兹曼常数，约为 5.67x10-8W/m2· K4。热辐射不同于热传 导和热对流，它可以在真空中发生，并且所 有的物质都会发出热辐射。 稳态的二维热传导问题，在直角坐标系 下，对系统应用能量守恒定律，得到热扩散 方程：

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T T kX kY q 0 2 2 X Y2 2

q表示单位体积产量的热量。热传导问题中 常用的几种边界条件： 1、忽略通过表面损失或得到的能量。 一般是指绝热表面或绝缘性相当好的表面。 在热传导问题中，对称线也表示绝热线。 这类边界条件由下式表示： T 0 X ( X 0,Y )

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2、表面的热流量为常数，这类边界条件， 可用以下方程表示： T

k

X

q

// o

( X 0)

3、由对流引起的冷却或加热过程仅发生在 物体表面，这类边界条件，可用以下方程 表示： T k h[T (0, y) T f ] X ( X 0)

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三、热力学有限单元公式推导： 1、矩形单元： Ti

T ( e ) [ Si S j S m

T j Sn ] Tm Tn

其中， Si

形函数分别是 ： x y x y Si (1 )(1 ) S j (1 ) l w l w xy y x Sm S n (1 ) lw w l

S j Sm Sn

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Tn

T

Tm

Ti

y

Tj

m

Y

n

x

i

j

X

矩形单元

对热扩散方程应用伽辽

金方法，在局部坐 标系x, y下，得到余差方程：

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Ri( e ) R (j e ) R R (e) m

2T 2T Si (k x 2 k y 2 q )dA A x y 2T 2T S j (k x 2 k y 2 q )dA A x y 2T 2T S m (k x 2 k y 2 q )dA A x y T T S n (k x 2 k y 2 q )dA A x y2 2

(e) n

在有限元分析我们曾提到过，在所以单元组 合完成后，应将余差设为零，将上述方程改 写为：

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2T 2T S T (kx 2 k y 2 q)dA 0 A x y

其中，ST为形函数的转置矩阵:

Si S T j S Sm Sn

对上式进行积分计算，可以得到双线 性矩阵单元的传导矩阵：

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K (e)

2 2 2 2 kw x 6l 1 1 1 1

1 1 2 1 1 2 1 1 k y l 1 2 2 1 2 2 6w 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 0 0 hl jm 0 0 K (e) 0 6 0 0 0 0 2 0 hlni 0 K (e) 1 6 0 2 1 0 0 1 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2

在矩形单元不同边上应用对流边界条件： 2 hlij 1 6 0 0 0 hlmn 0 6 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 2 1 0 0 0 0 0

K (e)

K

(e)

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单元的热荷载矩阵：F (e) 1 0 hT f lij 1 hT f l jm 1 F (e) 2 0 2 1 0 0 0 1 hT f lmn 0 hT f lni 0 F (e) 2 1 2 0 1 1

F (e)

2、三角形单元：T(e)

Ti [ Si S j S k ] T j T k

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其中， Si S j Sk 形函数分别是：1 Si ( i i X iY ) 2A 1 Sj ( j j X jY ) 2A 1 Sk ( k k X k Y ) 2A

T

Tj

Tk

Ti

(Xj,Y j)

Y

(Xi,Y i)

(Xk,Y k)

X

三角形单元

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A是单元面积，可以从以下方程计算的出：

2 A X i (Yj Yk ) X j (Yk Yi ) X k (Yi Yj )

且: i X jYk X k Y j

i Y j Yk i X k X j j Yk Yi j X i X k k Yi Y j k X j X i

j X k Yi X iYk k X iY j X jYi

应用伽辽金法，则三角形单元的三个余 差方程的矩阵形式为：

T T S (k x ky q)dA 0 2 2 A X Y2 2 T

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其中，ST为形函数的转置矩阵: Si T S S j S k

对上式积分得到三角形单元的传导矩阵为： i2 i j i k i2 i j i k kY kX 2 2 i j j j k i j j j k

4A 4A 2 2 i k j k k i k j k k

K (e)

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三角形不同边上应用对流边界条件：K (e) 2 1 0 hlij K ( e ) hl jk 1 2 0 6 6 0 0 0 2 0 1 hlki 0 2 1 6 1 0 2 0 0 0 0 2 1 0 1 2

K (e)

单元的热荷载矩阵：F (e) 1 hT f llj 1 2 0 F (e)

0 hT f l jk 1 2 1

F (e)

1 hT f lki 0 2 1