高等数学试题讲解与分析

第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案

一、单项选择题

1．下面函数与y x为同一函数的是（ ）

A.y

∴选C

4．下列函数在 , 内无界的是（ ）

A.y

11 x

2

B.y arctanx

C.y sinx cosx D.y xsinx

lnx

2

B.y x

C.y e D.y lne

解: 排除法：A

2

x1 x

2

x2x

12

有界，

解： y lnex xlne x，且定义域Barctanx 有界，

C sinx cosx

, ， ∴选D

2．已知 是f的反函数，则f 2x 的反函数是（ ）

A.y C.y

12

12

故选D 5．数列 xn 有界是limxn存在的（ ）

n

A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解：

x B.y 2 x xn 收敛时，数列

xn有界（即

n 1

2x D.y 2 2x

12

y ,互

，反之不成立，（如xn M）

1 有界，

解:令y f 2x ,反解出x：x 换x，y位置得反函数y

12

但不收敛，

选A 6．当n 时，sin则k= （ ） A

12

2

x ，选A

1n

与

1n

k

为等价无穷小，

3．设f x 在 , 有定义，则下列函数为奇函数的是（ ） A.y f x f x

B 1 C 2 D -2

sin

2

11

2

lim解：

B.y x fC.y xf

3

x f x

n

n limn 1，k 2 选C

n 11

k

nn

11 x

k

x

2

二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设f x

，则f f x 的定义域

D.y f x f x

为

解： ∵f f x

1 f x

解： y xf x

3

2

的定义域 , 且

2

111

11 x

y x x f x

3

xf x

3

2

y x

x 1

1 x2 x

解： 当n 时，sin

∴f f x 定义域为

( , 2) ( 2, 1) ( 1, )

22

～ ∴原式nn

8．设f(x 2) x2 1, 则f(x 1)

解：（1）令x 2 t,f t t 4t 5 f x x 4x 5

2

2

63n2 52

=lim = n 5n 3n5

三、计算题（每小题8分，共64分）

arcsin

2x 113

．求函数y

1 2x 1 1

解：

x 1 0

（2）f x 1 (x 1) 4(x 1) 5 x 6x 10 9

．函数y log4

22

3 x 4

x 1或x 1

log42的反函数是

2y 1

解：（1

）y log4，反解出x：x 4

2x 1（2）互换x,y位置，得反函数y 4

∴函数的定义域为 3, 1) 1,4

x

1 cosx 求f2

10

．lim

n

32

14．设f sin

x

解

：原式

有理化

lim

n

x 2

解： f sin 2cos

2

f

11．若lim 1

n

5 n

kn

x2

2x 2 1 sin

2

e

10

,

2 1

2

则k 解：左式=e

5

lim( kn)n n

故f x 2 1 x

2

e 5k e 10 故

k 2

12．lim

3n 55n 3

2

15．设f x lnx，g x 的反函数

1

n

sin

2n

g

x

2 x 1 x 1

，求f g x

2x 2 ∴反解: （1） 求g(x): y

x 1

f(x) g(x)

1x 1

2

1x 1

1x 1

解出x：xy y 2x 2互换x,y位置得g(x) (2)

f g

x

y 2

y 2

2 得2f x

x 2 x 2

ln

故 f(x)

1x 1

2

1x 1

1x 1

x

lng

x

x 2

x 2

2 得2g x

故g(x)

xx 1

2

16．判别f

x lnx 的奇偶性。

n

解法（1）：f x 的定义域 , ，关于原点对称

18．设lim

n

n 2a 3

8，求a的值。

n a

3

n

f

x ln x

ln

解： lim

n

lim

na

3a 3 n 2a n

lim1 n n a n a

a

a

lnx

1

ln(x

en n a e, e 8

故a ln8 3ln2

1 11

19．求lim n 1 22 3n n 1

n

f x

f

x ln(x 为奇函数

解法（2）：

f x f x

ln(x

ln x

解：（1）拆项，

1k(k 1)

k 1 k(k 1)k

1k1

1k 112 3

k 1,2, ,n

1n n 1

ln (x

x ln1 0

1 2

f x f x 故f x 为奇函数

17．已知f x 为偶函数，g x 为奇函数，且f x g x

1x 1

1 11 1 1

1

2 23 nn 1

，求f x 及g x

1x 1

1

1

n 1

n

n

解： 已知f(x) g(x)

f( x) g( x)

1 x 1

即有

lim1 1n n 1 e e （2）原式=lim 1 n n 1

20．设f x ax a 0,a 1 , 求lim

1n

2

（3）讨论f3 x 的有界性

f3

x

n

ln f 1 f 2 f n

1

解： 原式=lim

n

112n

lna a a 2n

f3 x 有界

1

lim2 lna 2lna nlna n n

lna lim

22．从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形，把留下的中心角为 的扇形做成一个漏斗（如图），试将漏斗的容积V表示成中心角 的函数。

解：（1）列出函数关系式，设漏斗高为h，底半径为r，依题意：漏斗容积V= rh

1

2

1 2 n

n n2

(n 1)nn 2

2

lna lim

n

h

2 r

R R 4

2

3

1

lna a 0,a 1 2

r

2

四、综合题（每小题10分，共20分） 21．设f x

x2

h

f3 x = f3 x 的奇偶性与有

故V

R

34

2

2

R

2

f

f

f

x 并讨论

界性。

解：（1）求f3 x

f

（2）函数的定义域

4

2

0, 2

22

2

x

f2 x