2017届文科数学立体几何大题训练

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2017届文科数学立体几何大题训练

1. 如图，三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形．

（Ⅰ）求证：DM //平面APC ；

（Ⅱ）求 证：平面ABC ⊥平面APC ；

（Ⅲ）若BC =4，AB =20，求三棱锥D —BCM 的体积．

2. 如图1，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，面ABCD 为正方形，E 为侧棱PD 上一点，

F 为AB 上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示． （Ⅰ）求四面体PBFC 的体积；

（Ⅱ）证明：AE ∥平面PFC ；

（Ⅲ）证明：平面PFC ⊥平面PCD ．

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3. 如图，四棱柱P ABCD -中， .//,,AB PAD AB CD PD AD F ⊥=平面是DC 上的点

PAD ?中AD 边上的高. （Ⅰ）求证：//AB 平面PDC ；

（Ⅱ）求证：PH BC ⊥；

（Ⅲ）线段PB 上是否存在点E ，使EF ⊥平面PAB ？说明理由.

4. 如图，在四棱锥

中，底面为菱形，，为的中点。

（1）若

，求证：平面； （2）点

在线段上，，试确定的值，使

；

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5. ．如图，

是矩形中边上的点，为边的中点，，现将沿边折至位置，且平面平面.

⑴ 求证：平面平面；

⑵ 求四棱锥的体积.

6. 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，90ABC BCD ∠=∠=，PA PD DC CB a ====，2AB a =，E 是PB 中点，H

是AD

中点.

（Ⅰ）求证：//EC 平面APD ；（Ⅱ）求三棱锥E BCD -的体积.

E ABCD AD

F CD 243

AB AE AD ===ABE ?BE PBE ?PBE ⊥BCDE PBE ⊥PEF P BEFC -P B C

D F

E (1)(2)

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7. 如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形， 90BAC ∠=°，O 为BC 中点．

（Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ；

（Ⅱ）求异面直线BS 与AC 所成角的大小．

8. 如图，已知AB 平面ACD ，DE ∥AB ，△ACD 是正三角形，，且F 是CD 的中点．

（Ⅰ）求证AF ∥平面BCE ；

（Ⅱ）设AB =1，求多面体ABCDE

的体积．

⊥2AD DE AB ==

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9.如图，是矩形中边上的点，为边的中点，，现将沿边折至位置，且平面平面.

⑴ 求证：平面平面；

⑵ 求四棱锥的体积.

10. 右图为一组合体，其底面为正方形，平面，，且

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求四棱锥的体积；

（Ⅲ）求该组合体的表面积．

E ABCD AD

F CD 243AB AE AD ==

=ABE ?BE PBE ?PBE ⊥BCDE PBE ⊥PEF P BEFC -ABCD PD ⊥ABCD //EC PD 22PD AD EC ===//BE PDA B CEPD - P B C D F E (1)(2)

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11. 四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面，为

（Ⅰ）求证：； （Ⅱ）在上求一点，使平面

；

（Ⅲ）求三棱锥的体积.

12. 在三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为的正三角形，点1A 在底面ABC 上的射影O 恰是BC 中点．

（Ⅰ）求证：1AA BC ⊥；

（Ⅱ）当侧棱1AA 和底面成45角时， 求11A BB C C V -

（Ⅲ）若D 为侧棱1AA 上一点，当为何值时，11BD A C ⊥．

S ABCD -ABCD SBC ⊥ABCD E SD 45AB ，SA BC ⊥BC F //EC SAF D EAC -32DA

D A 1

13.如图，

已知三棱锥，，

为中点，为中

点，且是正三角形，．

（1）求证：平面平面；

（2）求三棱锥的体积．

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．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4，AB=2，E是

PD的中点(1)求证：AE⊥平面PCD；

(2)若F是线段BC的中点，求三棱锥F-ACE的体积。

ABC

P-

90

=

∠ACB

D

AB

CB,

20

,4=

=AB M PB

PDB

?PC

PA⊥

PAC⊥ABC

BCD

M-

D

P

M

C

B

A

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15. 如图，在正四棱锥ABCD P -中，底面是边长为2的正方形，,E 为BC 的中点，F 是侧棱PD 上的一动点。

（1）证明：BF AC ⊥；

（2）当直线ACF PE 平面//时，求三棱锥ACD F -的体积.

16. 如图，在直三棱柱(即侧棱与底面垂直的三棱柱)111ABC A B C -中，90,ACB ∠=122AC AA BC ===，D 为1AA 的中点.

（I ）求证：平面1B CD ⊥平面11B C D ；

（II ）求1C 到平面1B CD 的距离．

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17.如图，斜三棱柱中，侧面底面ABC ，底面ABC 是边长为2的等边三角形，侧面是菱形，，E 、F 分别是、AB 的中点． 求证：（1）；

（2）求三棱锥的体积.

18. 如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD=60?，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA=2.

（1）证明：平面PBE ⊥平面PAB ；

（2）求PC 与平面PAB 所成角的余弦值。

111A B C ABC -11AA C C ⊥11AA C C 160A AC ∠=11A C EC ABC ⊥平面1A EFC

- A

1 E

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19. 如图，斜三棱柱111A B C ABC -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，侧面11AA C C 是菱形，

160A AC ∠=，E 、F 分别是11A C 、AB 的中点．

求证：（1）EF ∥平面11BB C C ； （2）平面CEF ⊥平面ABC

20.已知△BCD 中，∠BCD =90°，BC =CD =1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB =60°，E 、F 分别是AC 、

AD 上的动点，且

)10(,<<==λλAD

AF

AC AE （Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；

（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？

A

1

E F

E

D

B

A

C