Chapter3-泛函分析初步

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Chapter 3 泛函分析初步 §3.1 线性空间 §3.2 线性子空间 §3.3 距离空间 §3.4 Banach空间 空间 §3.5 Hilbert空间 空间 PP2-5 P6 PP7-13 PP14-26 PP27-35

§3.6 完备规范正交集上广义傅里叶展开 PP36-43现代应用分析卷》 《现代应用数学手册——现代应用分析卷》,清华出版社 现代应用数学手册 现代应用分析卷1

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§3.1 线性空间 定义(线性空间):非空集合W≠ ,若满足 定义(线性空间) 非空集合(1) W 中元对"+"构成交换群,即对 Ξ,Ψ,Ζ∈W, 中元对" 构成交换群 即对 Ψ Ζ 构成交换群, , 有 X +Y W ü ü ü ( 加 法 封 闭 ,+性 ) 半群 ⅰ. (X + Y )+ Z = X + (Y + Z ) ( 结 合 律 ) 群 ⅱ. ⅲ. ⅳ. ⅴ. $ 0 W , 使 0 + X = X (存在零元) $ - X ? W , 使 ( X )+ X = 0( 存 在 逆 元 ) X +Y = Y +X (交换律)

交换群 2

俗称Abel群) (加法交换群,称为Abel加群,俗称 加法交换群,称为 加 群

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(接上页)(2) 对 Ξ,Ψ∈W, α, β ∈Χ(复数域),有: 复数域), ),有 Ψ ⅵ. a (b X )= (a b )X W ⅶ. a X + b X = (a + b )X ⅷ. a (X + Y )= a X + a Y ⅸ. 1 ?XX

即对数乘封闭, 即对数乘封闭,

则称W为线性空间; 则称 为线性空间;α, β ∈ Χ ,W为复线性 为复线性 空间; 为实线性空间. 空间; α, β ∈Ρ,W为实线性空间. 为实线性空间3

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说明: 说明:1) 加法封闭 2) 数乘封闭举例:

?

X i ? W , a i 挝, 有 a i X ii= 1

N

W

(i)C [ a, b ] 是线性空间.

[ a, b] 上连续函数的全体,记为C [ a, b].

(ii)span { 1 , X 2 ,… , X n } 是由X1 , X 2 ,… , X n张成的 X , 线性空间,其中X1 , X 2 ,… , X n线性无关,

禳 镲 span { 1 , X 2 ,… , X n }= 镲 = X X 睚 镲 镲 铪

n

i= 1

a i Xi a 1 , a 2 , , a n P4

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线性算子: 线性算子: 线性空间 上的算子 L 为线性算子 线性空间W上的算子

禳N 镲 L 镲 a i Xi = 睚 邋 镲= 1 i 镲 铪N

a iL { i } Xi= 1

( 向 a i X i 和 X i 施 以 L 算 子 操 作 )

推论: 推论: 零状态线性系统 系统算子为线性算子5

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§3.2 线性子空间 线性子空间:设 ≠V W,V是W的线性子 线性子空间: , 是 的线性子 空间 X, Y ∈V , a , b ∈ ,有a X + b Y ∈V 上加法, (V上加法,数乘封闭) 上加法 数乘封闭) 直和:W1 , W2 , , W p 是W 的子空间,若X ∈ W ,X可唯一表示成 X = X1 + + X p,其中X i ∈ Wi

(i = 1,… , p ),则称W 是W1 , W2 , , Wp的直和,记为:W = W1 ⊕ W2 ⊕ ⊕ W p.

直和) (空间求和——直和) 空间求和 直和

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§3.3 距离空间(度量空间,Metric Space) 度量空间, 定义:设W≠ ,称W为距离空间,指在 中定义了 定义: 为距离空间,指在W中定义了 映射: 包括0元 映射: ρ (X, Y ) W × W →(+ : R 包括 元), 返回 满足以下三条公理: Ξ,Ψ∈W 满足以下三条公理: Ψ

i. ρ (X, Y )≥ 0, 且ρ (X, Y )= 0 X = Y (正定性) ii. ρ (X, Y )= ρ (Y, X ) iii. ρ (X, Z ) ≤ ρ (X, Y )+ ρ

(Y, Z ) (可 交 换性 ) (三角不等式)

称为W上的距离, 上的距离 度量空间. 则 ρ (X, Y ) 称为 上的距离,(W , ρ )为度量空间.参见 X 三公理 7

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例子: 例子: 例1:数域 : / 域上(一维实数/复数空间)

ρ (X , Y )= X - Y

例2:函数空间 :C [a, b ] (连续函数空间)

ρ (X (t ), Y (t ))= max X (t )- Y (t )α≤τ≤β8

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例3:向量空间 :轾 x1 犏 n , X = 犏 , = Y 犏 犏 xn 臌 轾 y1 犏 犏 ∈ n 犏 犏 yn 臌

ρ (X, Y )=

n

xi - yi

i=1 "i n

ρ (X, Y )= max xi - yi2 骣 2÷ ρ (X, Y )= xi - yi ÷ ÷ i= 1 桫9

1

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距离空间的收敛问题: 距离空间的收敛问题: 收敛:度量空间(W , ρ )中的点列 {xn } = 1 收敛于x0, 收敛: n等价于: x0是 {xn } = 1 的极限 n ρ (xn , x0 )→ 0,当n → ∞ lim xn = x0n →∞ ∞ ∞

注:x0 W,才叫做收敛.

定理:在 (W , r ) ,每个收敛点列有唯一的 定理: 中 极限点. 极限点. (请同学自行证明) ) 研究点列的轨迹,点迹收敛情况. 10

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柯西序列: 柯西序列: 柯西序列(Cauchy Sequence) 柯西序列( )设 {xn } = 1 是 (W , ρ )中的点列,若对e > 0 , n N = N (e ),使ρ (xn , xm )< e ,n, m > N, 则称 {xn } = 1 是 (W , ρ )中的柯西序列. n∞ ∞

例子: ρ (xn , xm ) xm - xn 例子:m , n →∞

lim xm - xn = 0

点列越来越靠近,无限靠近,靠到哪里呢? 如果靠到W上,则可惜序列收敛于W . 11

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关于柯西序列的说明: 关于柯西序列的说明:

{} 1 {n} 1 即: } {n1 例: n

∞

, W = (0,1] ρ X - Y ,X , Y ∈ W ,

n= 1

∞

1 是柯西序列,但 → 0,n → ∞, (0,1] 0 n n= 1 在W 上不收敛;它收敛,但不收敛于W.

∞

n= 1

(W , ρ ) 中任意收敛序列都是柯西序列 (W , ρ )中的柯西序列未必收敛到 (W , ρ ) 上12

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距离空间的完备性: 距离空间的完备性: 完备度量空间 完备度量空间——Complete Metric Space 称为完备度量空间 度量空间, (W, ρ ) 称为完备度量空间,指其中所有柯西序列 都收敛于W 都收敛于 . 欧氏空间 n,l p,C [a, b ] 都是完备的距离空间. 说明: 说明:– 极限运算在完备时可行,不完备则不能求极限 极限运算在完备时可行, – 如何完备化? 如何完备化? – 度量空间(W, ρ)不要求 W 是线性空间 度量空间( )13

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§3.4 巴拿赫(Banach)空间 巴拿赫(Banach)

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§3.4.1 赋范线性空间是线性空间, 定义(赋范线性空间):设W≠ 是线性空间,若 定义(赋范线性空间) 满足三条公理: 对 Ξ,Ψ∈W, X ,满足三条公理: ,i. X ≥ 0, X = 0 X = 0 ( 正定性 ) ii. α X = α X , α ∈ iii. X + Y ≤ X + Y ( 正齐性 )

( 三角不等式 )

范数( ).定义了范数的线 则称 X 为Ξ 的范数(Norm).定义了范数的线 ). 性空间称为赋范线性空间 赋范线性空间, 性空间称为赋范线性空间,记为 (W, i ) .参见ρ ( X, Y ) 三公理 15

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赋范空间与度量空间的关系: 赋范空间与度量空间的关系: 与

度量空间的关系由 (W , ),必有ρ ( X, Y ) = X Y ,则 (W, ) (W , ρ );,X 0,X = Y 反例: (W ,ρ ) 是度量空间,若取ρ ( X, Y ) = , 1,X ≠ Y ρ (α X, 0 ) = 1,X ≠ 0 ;而 α ρ ( X, 0 ) = α ≠ 1.

二者的差 …… 此处隐藏：2406字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……