数值分析讲义-非线性方程数值解法

第四章

非线性方程数值解法

设有非线性方程 f x 0 ,若存在 x R 使得 f x 0 ,则称 x 为方程的一个根，或 为函数 y f x 的一个零点。方 程数值解指对于给定的绝对误差限 x x 。

0 ,求

x R 使

若在区间 a , b 上方程 f x 0 有唯一解，则称 a , b 为 方程的一个隔根区间。

求方程近似根的问题，一般分两步进行：(1)求隔根区间。确定根所在的区间，使方程 在这个小区间有且仅有一个根。所求的隔离区间越 小越好。 (2)将近似根精确化。用求方程根的数值方法， 使求得的近似根逐步精确化，使其满足给定的精度 要求。

§1 二分法 设函数 y f ( x) 在 [a, b] 上连续且严格单调，若 f (a) f (b) 0 ,则 [a, b] 为 f ( x) 0 的一个隔根 区间。

二分法的基本思想是：将隔根区间二等分，根据分点处函数 f ( x) 的符 号逐步将隔根区间缩小，使在足够小的区间内，方 程有且只有一个实根。

a, b 的中点 x0 a b ,将区间 [ a, b] 首先取

分为两半。若 f ( x0 ) 0 ,则 x0 就是 f ( x) 0 的实根 ； 否则检查 f ( x0 ) 与 成立。 如果成立，则 a, x0 是隔根区间，这时取a1 a, b1 x0f (a)是否异号，即是否 f (a) f ( x0 ) 0

2

;否则 x0 , b 是隔根区间，这时取

a1 x0 , b1 b 。这样，就得到一个新的是隔根区间[ a1 , b1 ]

,其长度仅是 [ a, b] 的一半。

y f x

b b1 b2

a a0

a1

a2

例1:用二分法求方程

x2 f ( x) sin x 0 4

10 2 。 的非零实根的近似值，使绝对误差不超过解：因为f ' ( x) cos x x 2

' 当 1.6 x 2 时， f ( x) 0 , f ( x) 为单调减少函数。

又 f (1.6) 0, f (2) 0,因此 f ( x) 0 在[1.6, 2] 有唯一非零实根。

记

a0 1.6, b0 2 ,令

( a b) x0 1.8,则 f ( x0 ) 0.164 0 2a1 x0 1.8, b1 b0 2

因为 f (b0 ) f ( x0 ) 0 ,所以取再令x1 a1 b1 1.9 2

,则

f ( x1 ) 0.044 0

因为 f (b1 ) f ( x1 ) 0 ,所以取

a2 x1 1.9, b2 b1 2

如此继续下去，即得计算结果如下表。

k0 1 2 3 4 5 6

ak1.6(+) 1.8(+) 1.9(+) 1.9(+) 1.925(+) 1.925(+) 1.93125(+)*

xk1.8(+) 1.9(+) 1.95(-) 1.925(+) 1.9375(-) 1.93125(+) 1.934375(-)

bk2(-) 2(-) 2(-) 1.95(-) 1.95(-) 1.9375(-) 1.9375(-)

a6 b6 取 x x6 2 1.934375 1.93

,即可满足精度要求。

二分法的优点： 计算简单，方法可靠，只要求 函数的性质要求较低。 它的缺点是： 不能求偶数重根，也不能求复根，收敛速度与以1 为公比的等比级数相同，不算太快。 2

f ( x)

连续，对

一般求方程的近似根，不大单

独使用，常用 来为其它方法求方程近似根提供好的初值。方程

求根最常用的方法是迭代法。

§2 简单迭代法 迭代法是数值计算中一类典型方法，不仅用

于方程求根，而且用于方程组求解。迭代法的基本思想是一种逐次逼近的方法， 首先构造一个迭代公式，对于给定的初值，用迭 代值反复校正，直到满足预先给出的精度要求。 下面研究如何构造一个合适的迭代公式。

一、简单迭代法

设有非线性方程

f ( x) 0, x a, b ,

(1)

[ a, b] 是其一个隔根区间。将其改写成等价形式

x ( x), x a, b

(2)

取 x0 [a, b] ,得到递推公式xk 1 ( xk ), k 0,1, 2,

(3)

由此得到数列{ xk } 有极限 x*

x0 , x1 , x2 , ,如果当 k

时，当x* ( x* )

,且 ( x) 在 x* 连续，则得

,

x* 是方程(1)的根。 因而

这种求方程近似根的方法称为简单迭代法。

( x)x0

称为迭代函数 称为根的初始近似值 称为根的k次近似值 称为迭代序列

xk{ xk }

当迭代序列收敛，则说迭代法收敛； 迭代序列发散，则说迭代法发散。

例2:求方程

f ( x) x3 x 1 0 的根。

解：因为 f 1 0, f 2 0, f ' ( x) 3x 2 1

当 x (1, 2) 时,

f ' ( x) 0

所以在 [1, 2] 上单调增加函数 f ( x) 有一个实根 将原方程转化为等价方程

(1) x 3 x 1 ,这时 ( x) 3 x 1 , 取 x0 1.5由迭代公式xk 1 3

xk 1

k 1, 2,3

求得

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

3 3 3 3 3 3 3 3

x0 1 x1 1 x2 1 x3 1 x4 1 x5 1 x6 1 x7 1

3 3 3 3 3 3 3 3

2.5 1.35721 2.3572 1.33086 2.33086 1.32588 2.32588 1.32494 2.32494 1.32476 2.32476 1.32473 2.32473 1.32472 2.32472 1.32472