数列专题复习1——数列求和问题

数列专题复习1——数列求和问题

泰兴市第一高级中学 王爱云

教学目标：

1．熟练掌握等差、等比数列的求和公式； 2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．

教学重点：

等差、等比数列的求和公式及非等差、等比数列求和的几种常见方法的应用． 教学难点：

非等差、等比数列的求和．

教学方法：

启发式、讲练结合．

教学过程：

一、问题情境

问题1 求和是数列问题中考查的一个重要方面，我们已经学过的数列求和有哪几种？

问题2 对于下列数列如何求和？

①已知f(x)满足x1,x2 R，当x1 x2 1时，f(x1) f(x2)

12n 1Sn f(0) f() f() f() f(1),n N

nnn

12

，若

，求Sn．

②求数列a，2a2，3a3，4a4， ，nan， （a为常数）的前n项和． ③求数列

11 3

，

12 4

，

13 5

， ，

1n(n 2)

， 的前n项和S．

二、学生活动

1．等差、等比数列直接运用公式求和（直接利用公式求和是数列求和的最基本的方法）

2．分析、概括各种数列的特征，从特征中寻求解决的方法． 三、建构数学

题型 1 公式法求和．

题型2 倒序相加法求和．（此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的）

题型3 错位相减法求和．

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{ an }，{ bn }分别是等差数列和等比数列．

题型4 裂项相消法求和．

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用．裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．

题型5 分组求和法．

有一类数列，既不是等差数列，又不是等比数列，若将这类数列适当拆开，则可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其相加，即可得出原数列的和．

四、数学运用 例1 已知log3x＝解析 由log3x＝

－123n

，求x x x x 的前n项和． log23

－11

log2x＝－1 x ． log232

由等比数列求和公式得 Sn＝x＋x2＋x3＋ ＋xn ＝

x(1 x)1 x

1(1 1

12

12

n

n

)

＝

2

n

＝1－

12

．

例2 求数列a，2a2，3a3，4a4， ，nan， (a为常数)的前n项和． 解析 若a＝0， 则Sn＝0．

n(n+1)

若a＝1，则Sn＝1＋2＋3＋ ＋n＝ ．

2若a≠0且a≠1，

则Sn＝a＋2a2＋3a3＋4a4＋ ＋ nan，

∴aSn＝ a2＋2 a3＋3 a4＋ ＋nan+1， ∴(1－a) Sn＝a＋ a2＋a3＋ ＋an－nan+1

＝

∴ Sn=

当a＝0时，此式也成立． ∴Sn

n(n 1)

2

(a 1)，

a a

n 1

1 aa a

n 12

na

n 1

．

(1 a)

na

n 1

1 a

(a 1)．

a a

n 12

(1 a)

na

n 1

1 a

(a 1)．

点评 数列 nan 是由数列 n 与 an 对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减（课本中的的等比数列前n项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种情况进行讨论，最后再综合成两种情况．而且对于应用等比数列求和时，一定要先注意公比的取值．

例3 求数列

11 3

，

12 4

，

13 5

， ，

1n(n 2)

， 的前n项和S．

分析 ∵

1n(n 2)

1n(n 2)

1

=(

2n11

111n 21n 2

），则对数列中每一项分解后即可得出结果．

解析 ∵=(

2n

），

1

1

∴ Sn= (1 ) ( ) ( )

2 324nn 2 =(1

21

1212n 2

1n 1

12n 4

1n 2

)

111

=

34

．

数列求和的常用方法： 1. 公式法．

直接应用等差、等比数列的求和公式；

2. 倒序相加法：如果一个数列 an ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n项和即可用倒序相加法．

3. 错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求．

4. 裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见

的拆项公式有：

1

(2n 1)(2n 1)

1n(n k)

，

，等等．

5. 分组求和法：需要熟悉一些常用基本式的特点与规律，将同类性质的数列归于一组，便于运用常见数列的求和公式．