2021届高考数学二轮复习重点练之导数及其应用(1)导数的概念和运

2021届高考数学二轮复习重点练之导数及其应用

（1）导数的概念和运算

1.已知2()cos 2e x f x x =+，则()f x '=( )

A.22sin 22e x x -+

B.2sin 2e x x +

C.22sin 22e x x +

D.2sin 2e x x -+

2.函数()432f x x x =-的图象在点()()1,1f 处的切线方程为( )

A.21y x =--

B.21y x =-+

C.23y x =-

D.21y x =+

3.设函数()f x 的导函数为'()f x ，若1()e ln 1x f x x x

=+-，则'(1)f =( ) A.e 3- B.e 2- C.e 1-

D.e 4.若函数()f x 满足()()32113

f x x f x x '=-?-则()1f '的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

5.已知曲线e ln x y a x x =+在点(1,e)a 处的切线方程为2y x b =+，则( )

A.e,1a b ==-

B.e,1a b ==

C.1e ,1a b -==

D.1e ,1a b -==- 6.已知函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且当0x >时，()ln 2f x x x =+-，则()()1'1f f -+-的值为( )

A.1-

B.1

C.3-

D.3

7.若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是( )

A.sin y x =

B.ln y x =

C.e x y =

D.3y x =

8.已知函数()ln f x x x =+，曲线()y f x =在0x x =处的切线l 的方程为1y kx =-，则切线l 与

坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.12 B.14 C.2 D.4

9.已知点()P a b ，为曲线ln y x x =+上一点，点()Q c d ，为直线21y x =+上一点，则22()()a c b d -+-的最小值为( ) A.25 B.45

10.已知'()f x 是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有'()e (23)()x f x x f x =++，(0)1f =，则不等式()5e x f x <的解集为( )

A ．(4,1)-

B ．(1,4)-

C ．(,4)(1,)-∞-+∞

D ．(,1)(4,)-∞-+∞

11.给出下列结论：

①(sin )'cos x x =； ②(sin )'cos 33ππ=； ③若21()f x x =，则2'(3)27

f =-； ④(2e )'2e x x =； ⑤41(lo

g )'ln 4

x x =. 其中正确的有___________个.

12.已知()f x '是函数() f x 的导函数，()sin 2(0)f x x xf '=+，则π()2

f '=__________. 13.若曲线()

2()1e x f x x ax =++在点()()0,0f 处的切线过点()2,2，则实数a 的值为_____________.

14.已知函数()ln ,(0,)f x ax x x =∈+∞，其中a 为实数，'()f x 为()f x 的导函数.若'(1)3f =，则a 的值为___________.

15.求下列函数的导数.

(1)()

221(31)y x x =-+； (2)2211

x x y x x -+=++；

(3)3e 2e x x x y =-+； (4)2ln 1

x y x =+.

答案以及解析

1.答案：A

解析：()2cos 2e x f x x =+∵，

()()()

()()222cos 2e sin 22e 22sin 22e x x x f x x x x x x '''''=+=-?+?=-+∴.故选A. 2.答案：B

解析：32()46,(')'12f x x x f =-=-.又(1)1f =-，则函数()f x 的图象在(1,1)-处的切线方程为'(1)(1)(1)y f x --=-，即21y x =-+，故选B.

3.答案：C 解析：由题意，得221e 1'()(e ln )'e ln x x

x f x x x x x x =-=+-，所以'(1)0e 1e 1f =+-=-，故选C.

4.答案：A

解析：依题意()()3211f x x f x ''=--，令1x =得()()11211f f ''=--，解得()10f '=.

5.答案：D

解析：令()e ln x f x a x x =+，则()e n '1l x f x a x =++.

曲线()y f x =在点(1,e)a 处的切线方程为2y x b =+，

(1)'2,e 2,f a b =?∴?=+?即e 12,e 2,a a b +=??=+?解得1,e 1,

a b ?=???=-?故选D. 6.答案：C

解析：由题意知，(1)(1)ln1121f f -==+-=-.由偶函数求导的性质，得(1)('1')f f -=-.因为当0x >时，()ln 2f x x x =+-，所以当0x >时，1'1()f x x

=

+.故(1)2',1)2'(f f =-=-.因此'(1)(1)3f f -+-=-.故选C.

7.答案：A

解析：当sin y x =时，cos ,cos0cos π1y x '=?=-，所以在函数sin y x =图象存在两点使条件成立，故A 正确；函数3ln ,e ,x y x y y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A.

8.答案：B

解析：由()ln f x x x =+得1()1f x x '=+，则()0011f x k x '=+=得011

x k =-，由111ln 11111k f k k k k ??=+=- ?----??

，得1ln 01k =-，即2k =，所以切线l 的方程为21y x =- 令0x =，得到1y =-，令0y =，得到12x =，所以所求三角形面积为111|1|224

??-=，选B.

9.答案：B 解析：设点P 到点Q 的距离为m ，则()()222m a c b d =-+-.由题意可知，当曲线ln y x x =+在点()P a b ,处的切线与直线21y x =+平行时，m 最小由112y x '=

+=，得1x =.故点P 的坐标为(1)1,时，m 最小，且

min m ==()()22a c b d -+-的最小值为45

.故选B

10.答案：A

解析：令()()e x f x g x =，∴()()()()e 2323e e x x x f x f x x g x x '-+'===+，∴()23g x x x c =++， ∵()()

0001e f g ==，∴ 1c =，∴()231g x x x =++，

∵()5e x f x <，∴()

5e x f x <，∴2315x x ++<，即2340x x +-<，解得41x -<<.故选A.

11.答案：4

解析：因为(sin )'cos x x =

，所以①正确；sin 3π=

=0=，所以②错误；2321'()()'()'2f x x x x --===-，则2'(3)27

f =-，所以③正确；因为(2e )'2e x x =，所以④正确；因为41(lo

g )'ln 4x x =

，所以⑤正确.故正确的有4个. 12.答案：-2

解析：∵()sin )20(f x x xf =+'，∴()cos ()20f x x f '=+'，

令0x =，则()()()0cos020120f f f '=+'=+'，

∴()01f '=-，∴()ππcos 20222

()f f '=+'=-. 13.答案：12

-

解析：()2()12e ,(0)1,('0)1,'x f x x ax x a f f a =++++==+∴切线方程为1(1)y a x -=+.

切

线过点(2,2),212(1)a ∴-=+，12a ∴=-. 14.答案：3 解析：1'()(ln )(ln 1)f x a x x a x x

=+?=+，因为'(1)3f =，所以'(1)3f a ==. 15.答案：(1)方法一：()23221(31)6231y x x x x x =-+=+--， ()()()32322'''623162(3)184''3y x x x x x x x x ∴=+--=+-=+-. 方法二：由导数的乘法法则得

()()()22221(31)21(31)4(''31)3'21y x x x x x x x =-++-+=++-=222124631843x x x x x ++-=+-.

(2)根据题意把函数的解析式整理变形可得

2222211221111

x x x x x x y x x x x x x -+++-===-++++++， ()()()222222212(21)

2211'x x x x x y x x x x ++-+-∴=-=++++.

(3)根据求导法则可得

()()()()()3e 2e 3'''''e '2'3e x x x x x x x x y =-+=+-=3ln3e 3e 2ln 2(3e)ln3e 2ln 2x x x x x x x ?+-=-.

(4)根据题意，利用求导的除法法则可得

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