方程与函数零点讲义

这个文档涵盖了方程与零点的基本概念,也包括零点判断的个数的方法,适合基础辅导

成就孩子成就未来

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成就孩子成就未来教 案

教学过程

知识点一 方程与函数零点的关系

1、观察下表(一)，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写

2

2、对于一般的一元二次方程ax bx c 0(a 0)及相应的二次函数

y ax

2

bx c(a 0)的图象与x轴交点的关系

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成就孩子成就未来3、函数的零点：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做y＝f(x)的零点。 辨析练习：函数y x2 2x 3的零点是：（ ）

A．（-1，0），（3，0）； B．x=-1； C．x=3； D．-1和3． 4、函数与方程的等价关系：

方程f(x)=0有实数根 函数y＝f(x)的图像与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点 5、利用函数与方程等价关系可以求出函数的零点

常见题型：

例1函数f(x)＝x2＋4x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( )

A．a<4 B．a>4 C．a≤4 D．a≥4 例2 函数f(x)＝x2－4x－5的零点是________．

例3 函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点．

例4 求函数f(x) lg(x 1)的零点．

练习：

求下列函数的零点

（1）f(x) x2 5x 6； （2）f(x) 2x 1

知识点二 零点存在性 1、从问题中探究结论

（1）观察二次函数f(x) x2 2x 3的图象：

1 在区间[ 2,1]上有零点______；f( 2) _______，f(1) _______, ○

． f( 2)·f(1)_____0（＜或＞）

2 在区间[2,4]上有零点______；f(2)·f(4)____0（＜或＞）○．

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成就孩子成就未来（2）观察下面函数y f(x)的图象

1 在区间[a,b]上______(有/无)零点；f(a)·f(b)_____0（＜或＞）○． 2 在区间[b,c]上______(有/无)零点；f(b)·f(c)_____0（＜或＞）○． 3 在区间[c,d]上______(有/无)零点；f(c)·f(d)_____0（＜或＞）○．

结论：

2、判断函数零点个数也可以利用图像来判断

方法：先把函数F（x）化成两个函数的差，即令F（x）= f(x)- g(x)，画出f(x)、 g(x)的图像，观察交点，有一个交点则F（x）=0有一个零点，有两个交点则F（x）=0有两个零点……

常见例题

例1求函数f(x)=㏑x + 2x – 6 的零点个数

例2 已知函数f(x)＝3x－x2，求方程f(x)＝0在区间[－1,0]上实根的个数．

1

例3 判断函数f(x)＝lnx－x在区间(1,3)内是否存在零点．

例4 已知关于x的方程x2＋2mx＋2m＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m的取值范围．

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成就孩子成就未来练习：

1、判断出方程 ㏑x = - x2 + 3 实数根的个数吗？

2．函数f(x) x3 3x2 2x的零点个数为（ ）

A、0 B、1 C、2 D、3 3. 函数

f(x) lnx 2x 6的零点一定位于区间（

2 xx 1

）.

A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5)

4. 求证方程3x

在(0,1)内必有一个实数根.

课堂练习：

1．函数f(x) x2 4x 1的零点为（ ）

A

、 1

2

B

、 1

2

C

、 1

2

D、不存在

2．函数f(x) x3 3x2 2x的零点个数为（ ）

A、0 B、1 C、2 D、3 3. 求证方程3x

4. （1）若方程2ax2 1 0在(0,1)内恰有一解,则实数a的取值范围是（2）已知函数f(x) 3mx 4，若在[ 2,0]上存在x0，使f(x0) 0，则实数m的取值范围

是 . 5. 已知关于x的方程x2＋2mx＋2m＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m的取值范围．

关注学习每一天 2 xx 1

在(0,1)内必有一个实数根.

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成就孩子成就未来6. 已知函数f(x)= x2-2x-3-a分别满足下列条件，求实数a的取值范围.

(1) 函数有两个零点; (2)函数没有零点;

布置作业

１．下列函数中在［１，２］上有零点的是（ ）

A.f(x) 3x 4x 5 C.f(x) lnx 3x 6

2

B.f(x) x 5x 5 D.f(x) e 3x 6

x

3

２．若方程2ax2 x 1 0在(0,1)内恰有一个实根，则a的取值范围是（ ）

A.( , 1)

2

B.(1, ) C.( 1,1)

D. 0,1

３．函数f(x) ax bx c，若f(1) 0,f(2) 0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为

（ ）

D.一个也没有

A.至多有一个 4．函数f(x) log

A.(0,1)

x3

B.有一个或两个 C.有且只有一个

x 3零点所在大致区间是（ ）

B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

5．一次函数f(x) mx 1 m在［０，１］无零点，则m取值范围为

2

6．函数f(x) x (m 2)x 5 m有两个零点，且都大于２，求m的取值范围。

7．判断x3＋3x－1＝0在（0，1）内是否有解。

8．函数f(x) ax x 1仅有一个零点，求实数a的取值范围。

2

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