数学精神与方法

数学精神与方法 复习题及详解

1. 叙述皮亚诺的自然数公理系统。

皮亚诺的自然数公理系统包含”0”、“数”和“后继”三个基本概念。这里所谓的“数”是指所有自然数所构成的类，即指包括0在内的自然数全体（他没有假定我们知道这类中的所有分子，仅假定当我们说这个或那个是一个数时，我们知道我们所指的是什么）。 “后继”来代表从数到数的一种对应，这种对应是一对一的，给一个合适的起始数，潜在地，就足以造出数的全体。而这个合适的起始数只有一个，那就是“0”。

“0” 、“数” 、“后继”是不加以定义的原始概念，它们的性质全由皮亚诺的五条公理所界定和描述。

皮亚诺公理系统是建立在以下五个公理的基础上：“0是一个数、任何数的后继是一个数” 、“若两个数不同，则它们的后继也不同。”“0不是任何数的后继。”“数学归纳法原理。”

从皮亚诺的公理系统出发，加上一些逻辑的概念和命题，可以建立起完整的算术理论（可以定义数的加法、乘法和大小关系），可以证明已有的所有算术结果。可以说，它将经典数学“算术化”做到了最后完善的地步，是分析数学和整个经典数学的基础。

2. 你认为数学可以完全规约为逻辑吗？论述你的观点。 数学并不能完全规约为逻辑。逻辑主义学派认为，数学可以完全由逻辑得到。罗素和怀特相当成功的把古典数学纳入了一个统一的公理系统，使之能从几个逻辑概念和公理出发，再加上集合论的无穷公理就能推出康托集合论、一般算术和大部分数学来。这把逻辑推理发展到前所未有的高度，使人们看到，在数理逻辑演算的基础上能够推演出许多数学内容来，形成了集合论公理系统的逻辑体系。但后来数理逻辑中的一些深刻结果（如Godel不完备性定理）则否定了这种观点。事实上，数学不能完全由逻辑得到，即，如果要求数学是无矛盾的，那么，它就不可能是完备的。数学确实有逻辑以外的题材，那就是表达式，而且她的最重要的简单真理是直观的——而非逻辑的——产物。 ZFC系统中存在的非逻辑公理即能说明这一点。

3. 试述ZF系统的MP规则和GEN规则。

ZF的逻辑演绎规则有两条

(1)分离规则（MP规则）：从A和A B可推演出B，其中

A和B是任意两个公式.

x A ，其中(2)概括规则（GEN规则）：从A可以推演出

A是任一公式，而x是任一变元.

数学精神与方法 复习题及详解

1.分离规则对应于日常语言中进行论证的标准方式之一：从命题

（“甲蕴含乙”和“甲”分离（即推演）出命题“乙”。通常称

“甲蕴含乙”为大前提，“甲”为小前提，而“乙”为结论。）

分离规则反映的正是三段论式推理的形式。

2.概括规则对于涉及量词性质的推理是必要的。

当一个公式A含有自由变元时称A是开命题，当A不含自由变元时

称它为一个闭命题

（对一个开命题A，记作A x,y, ,z ，其中x,y, ,z表示A的所有自由变元，那么

z y x A x,y, ,z

变成了一个闭命题。）我们看到，量词的作用是对变元加以约束和限制，受到量化的变元就失去了变元的作用。

对于谓词公式，当它是闭命题时，在论域确定的情况下，该命题

的真假值依赖于谓词的含义而定；当它是开命题时，它的真假值一般

说来不能谈论，因为它含有的自由变元没有确定赋值——它不能构

成可以判断真假的陈述。

4. ZFC系统的非逻辑公理有哪些条款？其中哪几条最能体现数学价值而又不能归约为逻辑？

（外延公理）两个集合相等，当且仅当它们有相同的元素。

（配对公理）给出任何集合x和y，总存在着集合z，它的元素是x和y。 （并集公理））给出任何集合x，总存在着集合y，它以x的元素的元素为元素。 （幂集公理）给出任何集合x，总存在着集合y，它以x的一切子集为元素。

（替换公理模式）若对于任意的x，恰好存在唯一的y，使得公式A(x,y)成立，那么对于任意的集合z，存在集合u，使得

u = { v | 存在w∈z ，使得A(w,v)成立 }。

（基础公理）每个非空集合x含有一个元素y，y作为集合与x无公共元素。

（选择公理） 对任何由两两不交的非空集合组成的集合x，总存在一个集合y，它与x的每个成员恰有一个公共元素。

（空集公理）没有元素的集合存在。这一条也是断言集合存在的公理

和（无穷公理）存在一个集合x，它含有无穷多个元素。 这一条是断言无限集合存在的公理。

最后两条实质上断言的是空集ø和自然数集N的存在。这两条公理不能作为逻辑公理被看待，而应当作为数学公理。因此，将集合论完全划归成逻辑范畴是不正确的，也不可能得到数学界的认可。一般认为：逻辑主义自定的目标——数学化为逻辑，成为逻辑的一部分——不可能实现。除此之外，选择公理也被证明是一条数学原理，不能归约为逻辑。

5. 自然数系有哪些基本原理？详细叙述之。

(1) 递归原理——自然数系的基本定理之一

数学精神与方法 复习题及详解

设S是一个集合， :S S为

一个映射，a是S的任一个事先给定的元素。那么， 存在Ν到S的唯一的映射f:Ν S，满足

f 0 a , 且 f n f n n Ν

(2) 数学归纳原理——自然数系的基本定理之二

设P x 是一个含有自由变元x的

谓词公式，那么

P 0 n Ν P n P n n P n

(3)自然数系的统一性——自然数系的基本定理之三

对于N与 ，存在唯一的双射h:Ν ，适合

h 0 ， 且 h n h n

6. 什么是有限集、无限集和可数集？

定义4 设S是一个集合，我们规定

（1）如果存在n∈N使得S与｛0，1， ，n｝相似，或S与ø相似，

则称S是有限集；否则，称S是无限集。

（2）如果S与N相似，则称它是可列集。

（3）如果S是有限集或可列集，则称S是可数集或至多可列集。

定理5 设S是一个集合，那么

（1）S是有限集当且仅当S与它的任何真子集不相似；

（2）N是可列集；

（3）S是无限集当且仅当S的某个子集与N相似。

7. 谈谈你对零的看法。

单纯地看，零就是零，但仔细研究后，我们会发现通过0我们能认清数学的本质。因为，数学表述着事物复杂的本质，而把庞大的数学体系连成了一个整体的是零。从简单的计数到复杂的运算，从估计事物发生的几率到精确知道与我们相关的事件何时达到最大值，这些有力的数学工具都让我们使用这样的思考方法：一个事件的发生与其他的事件相关，并且所有这些都离不开零这个中心。

8. 谈谈你对无限的看法。

无限即无穷，分为实无穷和潜无穷，具有矛盾体的对立统一性。

实无穷是指，把无限整体本身作为一个现成单位，即把无限对象看成为可以自我完成的过程或无穷整体。按照此观点，所有的自然数可以构成为一个集合，因为可以将所有的自然数看作是一个完成了的无穷整体。康托的朴素集合论就是建立在实无穷的基础上的。例如，一条线段上的点有无穷个，但是这条线段本身又是有限的。

潜无穷是指：把无限看做永远在延伸着的，一种变化着成长着被不断产生出来的东西来解释。它永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在的。即把无限看作为永远在延伸着的（即永远在创造着的永远完成不了的） …… 此处隐藏：10537字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……