大学物理第3章-刚体的定轴转动

刚体的定轴转动1 2

刚体定轴转动的描述刚体定轴转动定律 定轴转动刚体的功和能 定轴转动刚体的角动量守恒定律

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§ 刚体定轴转动的描述一. 刚体的运动刚体：在力的作用形状和体积均不发生形变的物 体，理想化的模型。 刚体的基本运动形式：平动和转动 平动： 在运动过程中，其上 任意两点的连线始终保持平 行的运动。 平动时可当作质点处理2 2

转动: 刚体上各质点都绕同一直线作圆周运动 这条直线称为转轴。 定轴转动(fix-axis rotation): 转轴固定不动的转动

二. 定轴转动刚体的角量描述可用刚体上任一点P作圆周运 动时的角量来描述刚体定轴转 动。3

刚体的角速度、角加速度：d dt

方向:

d dt右手螺旋方向

转动平面

z

z 定轴转动时ω的方向 可以用正负来表示 ： ω方向与轴同向时取 正；反之取负。4

0

0

定轴转动刚体上任一点的速度和加速度：

vi ri 当

ait ri

ain ri 2

C 0 t

刚体做匀变速转动

0 0t t1 2

2

与质点匀变速直 线运动公式相似

2 2 0 2 ( 0 )

5 5

§ 刚体定轴转动定律一. 刚体定轴转动定律1、对轴的力矩 1)力在转动平面内 r F// Ft

F F

M z Fr sin Fh Ft r2)力不在转动平面内

h

A

F// 对轴的力矩为零 M z rF sin F h Ft r

Fn

说明 在定轴转动问题中，力对转轴的矩等于转动平 面内的分力对转轴的力矩。 同一个力对不同转轴的矩不一样； 通常规定: 沿转轴方向 M 0 沿转轴反方向 M 0

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2. 定轴转动的转动定理

设第i个质元，受合外力 Fi 合内力 f i Fi f i mi ai切线方向 同乘以 ri

ri fi

Fi

Fit f it mi ait

Fit ri f it ri mi ait ri mi ri ri r (mi ri )2

上式对所有质元求和，有：

F r fit i

it i

外力矩之和

内力矩之和

为零8

Fit ri M Z (mi ri )2

令 J 即

mi ri 2

刚体绕Z轴转动的转动惯量

M z J ----刚体的定轴转动定律

说明1. 上式是矢量式(力矩只有两个方向)。 2. M、J、 是对同一轴而言的。 3. 具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。

4. 转动惯量J是刚体转动惯性大小的量度。9 9

3、转动惯量的计算 转动惯量： J mi ri 2i

质量连续分布的刚体：质量为线分布： dm dl 面分布： dm ds 体分布：

J r 2 dm

dm dV

1)总质量

转动惯量与下列因素有关： 2)质量分布

3)转轴位置10

J与质量分布有关：例 半径为 R 质量为 m 的圆环

,绕垂直于圆环平 面的质心轴转动，求转动惯量J。

解：分割质量元 dm,圆环上 各质量元到轴的距离相 等，

m

dm

o

R

J R dm R2 0

m

2

m

0

dm

mR 211 11

例

一质量为m,半径为R的均匀圆盘，求对通过盘

中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。解 设圆盘面密度为σ ,在盘 上取半径为 r ,宽为 dr的圆环

dm 2π rdr

J r dm 2π r dr23

o R

r

dr

π R 1 mR2 2 2412 12

J与转轴位置有关：例 求长度为L,质量为m的均匀细棒AB的转动惯量。 (1)对于通过棒的一端与棒垂直的轴。 (2)对于通过棒的中心与棒垂直的轴。

m lol

dm dx

xl

m ll 2

dm

xl 2

xl

o x dxL/2 L / 22

J A x 2 dm x 2 dx0

0

Jc

x 2 dm

L/2

mL / 32

L / 2

x 2 dx 13

mL / 12

平行轴定理：刚体绕质心轴的转动惯量 JC刚体绕质心轴的平行轴的转动

z' d

z MC

惯量 J

J J C md

2

总结1. 计算 J 的方法：

(1)叠加定理:对同一转轴 J 有可叠加性(2)平行轴定理:

J Ji14 14

2. 应记住的几个常用结果:

J mR (2)均匀细棒 J 1 ml 2 c 12(1)细圆环2

1 2 J A ml 3

(3)均匀圆盘、圆柱

1 J mR 2 2

练习：写出下面刚体对O轴(垂直屏幕)的转动惯量

L

O

m

M O R15

三. 刚体定轴转动定律的应用例 定滑轮看作匀质圆盘，轴光滑，无相对滑动，桌

面水平光滑。已知 m1,m2, m3 ,R.求：两侧绳拉力。 m1 T1 T1 m3 解：如图建立直角坐标系， 选垂直纸面向里为转轴正向， R o T1 m1a1 T2 T2 T2 m2 g T2 m2 a2 T1 T1 T2

1 RT2 RT1 ( m3 R 2 ) 2 无相对滑动： a1 a2 R

m2

T2 ,T1

mg2