2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)

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[读教材·填要点]

1.圆的定义平面内与 定点 距离等于 定长 的点的集合(轨迹)是 圆， 定点 就是圆心， 定长 就是半径. 2.圆的标准方程 (1)圆心为(a,b),半径是r,圆的标准方程是 (x-a) +(y-b)2=r2 . (2)当圆心在原点时，圆的方程为3.中点坐标 x1+x2 y1+y2 A(x1,y1),B(x2,y2)的中点坐标为( , ). 2 22

x2+y2=r2

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[小问题·大思维] 1.若圆的标准方程为(x+a)2+(y+b)2=t2(t≠0),那么圆 心坐标是什么？半径呢？

提示：圆心坐标为(-a,-b),半径为|t|.2.由圆的标准方程可以得到圆的哪些几何特征？ 提示：由圆的标准方程可以直接得到圆的圆心坐标和 半径.

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[研一题] [例1] 写出下列各圆的标准方程.(1)圆心在原点，半径为8; (2)圆心在(2,3),半径为2; (3)圆心在(2,-1)且过原点. [自主解答] 设圆的标准方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2. (1)∵圆心在原点，半径为8,即a=0,b=0,r=8,

∴圆的方程为x2+y2=64.

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(2)∵圆心为(2,3),半径为2, 即a=2,b=3,r=2, ∴圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=4. (3)∵圆心在(2,-1)且过原点， ∴a=2,b=-1,r= 2-0 2+ -1-0 2= 5. ∴圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=5.

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[悟一法] 直接法求圆的标准方程，关键是确定圆心坐

标与半径，结合圆的几何性质可简化计算过程.

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[通一类]

1.求满足下列条件的圆的标准方程.(1)圆心为(2,-2),且过点(6,3); (2)过点A(-4,-5),B(6,-1)且以线段AB为直径； (3)圆心在直线x=2上且与y轴交于两点A(0,-4), B(0,-2).

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解：(1)由两点间距离公式， 得r= 6-2 2+ 3+2 2= 41, ∴所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+2)2=41. (2)圆心即为线段AB的中点，为(1,-3). 又|AB|= -4-6 2+ -5+1 2=2 29, ∴半径r= 29. ∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+3)2=29. (3)由圆的几何意义知圆心坐标(2,-3), 半径r= 2-0 2+ -3+2 2= 5, ∴圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=5.

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[研一题][例2] 已知两点P1(3,6),P2(-1,2),求以线段 P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(2,2),N(5,0), Q(3,2)在圆上，在圆内，还是在圆外？[自主解答] 由已知得圆心坐标为C(1,4),圆的半径r= 1 |P1P2|= 2 3+1 2+ 6-2 2=2 2. 1 2

∴所求圆的方程为(x-1)2+(y-4)2=8. ∵(2-1)2+(2-4)2=5<8, (5-1)2+(0-4)2=32>8,(3-1)2+(2-4)2=8, ∴点M在圆内，点N在圆外，点Q在圆上.

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[悟一法]判定点M(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2的位

置关系，即比较|MC|与r的关系：若点M在圆C上，则有(x0-a)2+(y0-b)2=r2; 若点M在圆C外，则有(x0-a)2+(y0-b)2>r2; 若点M在圆C内，则有(x0-a)2+(y0-b)2<r2.

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[通一类] 2.已知

点A(1,2)在圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的内部，求实数a的取值范围.解：∵点A在圆内部， ∴(1-a)2+(2+a)2<2a2, ∴2a+5<0, 5 ∴a<- , 2 5 ∴a的取值范围是{a|a<- }. 2