浅析矩阵论的发展与应用1

关于矩阵论的发展和应用的论文

浅析矩阵论的发展和应用

关于矩阵论的发展和应用的论文

摘要：矩阵是数学中的一个重要的基本概念。起初的矩阵式作为线性代数中的一个小分支慢慢发展而来的，但随着其在图论、代数、组合数学和统计上的广泛应用，使之逐渐成为数学中一个不可替代的组成部分，并发展为一个独立的分支。矩阵理论体系的形成，也推广了矩阵论在不同领域的发展和应用。本文从矩阵论发展过程的角度出发，浅析了矩阵论在不同领域的应用。 关键字：矩阵论，矩阵分解，实际应用

1 矩阵论的发展

“Matrix”这一词语由西尔维斯特首先使用的，但是他并没有给出明确的概念。矩阵的现代概念在19 世纪初期逐渐形成。19世纪初期，德国数学家高斯、爱森斯坦等已经使用了矩阵中的有关线性变换和矩阵乘积等的相关知识。矩阵（Matrix）的明确概念是由英国数学家凯莱在1858年在著作《关于矩阵理论的研究报告》中给出的。在这份报告中，凯莱率先将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究，他被认为是矩阵论的创立者，并为矩阵理论的发展奠定了良好的基础。随后，弗罗伯纽斯等人逐渐完善了矩阵的理论体现形成了矩阵的现代理论[1]。

然而，矩阵理论思想的萌芽却由来已久。早在公元前1世纪的《九章算术》中[2]，矩阵形式解方程组已经运用的相当成熟，但也仅仅是作为线性方程组系数的排列形式解决实际问题，并未建立起独立的矩阵理论。直到18世纪和19世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中的应用日益广泛并为矩阵的发展提供了良好的条件。矩阵理论的早起的概念是独立于矩阵理论本身而存在的，它从不同的领域和思想研究中的逐步发展，并逐步形成了后来的矩阵理论。首先是在17世纪的欧洲，克莱姆和范德蒙等数学家将行列式在线性方程组的求解中做了极大的应用，并最终形成现代矩阵论中的克莱姆法则和范德蒙行列式。到18世纪末，拉格朗日、达朗贝尔等数学家将矩阵（此时矩阵的概念还没有明确提出）的维度空间从单维扩展到了四维或者n维，并提出了n个变量（x1,x2xn）的二次型。直到19世纪的初期，伴随着行列式理论的蓬勃发展，与矩阵理论密切相关的线性空间、线性变换理论等也趋于成熟。但是在1844年之前n维空间的概念一直未能从代数中独立出来。在此之前，它一直被认为是符号化的算术。n维空间概念的真正脱离出来成为一个脱离空间直观的纯数学概念是以1844格拉斯曼发表的《张量演算》为节点的。19世纪初到19世纪3、40年代，以柯西、雅可比、凯莱以及哈密顿等人为代表的数学家都为矩阵理论的形成和发展做了很多突出的贡献。

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2 不同理论中的矩阵思想和矩阵思想的创立

矩阵理论的形成是在多种理论的共同推进下而演化出来，并形成独立的数学对象。不同理论中的矩阵里理论思想的孕育和发展也是因“论”而异。下面主要简要介绍一下以二次型理论、微分方程理论、行列式理论等理论中的矩阵思想的孕育和发展，并简要说明西尔维斯特对矩阵的初期研究和矩阵理论的创立。

2.1 二次型理论中的矩阵思想

矩阵理论在二次型理论中的体现主要是矩阵的阵列。在当时，矩阵中的阵列就是一二次型为主要形式表示的。在1748年，欧拉就已经将矩阵论中的特征值和特征根的相关概念应用到了三个变量的二次型中。特征方程的概念是由拉格朗日在他有关于线性微分方程的著作中提出的，与此同时，特征根的概念也在拉普拉斯的作品中出现过。随后在1773年，拉格朗日在齐次多项式中提出线性变换的概念及齐次线性正交变换[1]。即将齐次多项式的表达式py2 2qyz rz2

y Ms Nx222通过线性代换 ，变换成PR Q pr q Mn Nm 。 z ms nx

1801年高斯出版《算术研究》，将欧拉，拉格朗日的二次型理论进行了系统的推广。过程如下：一整数n表示成整数a,b,x,y的形式，设F x，y ax2 2bxy cy2 n ，令 x x' y'22。则F变换成一个新的形式F' x'，y' a'x' 2b'x'y' c'y' n,其中 y x' y'

2b'2 a'c' b2 ac a ，F'的系数依赖于F的系数和变换本身。这种将变换的系数

写成矩阵阵列的形式，实际上就是后来的矩阵理论中的乘法思想。尽管当时的高斯已经用单个字母只带一个特殊的变换，但并没有明确的提出乘法这中思想。

2.2 微分方程中的矩阵思想

微分方程的发展源自于物理问题的需要，物理学中的微分方程的普遍的应用“迫使”微分成为一门独立的学科。微分方程的求解过程中渗透着矩阵的一些概念，诸如特征值，特征向量等。特征方程的概念在微分方程中早就有隐含，例如欧拉考虑弹性问题求解常系数一般线性方程时就已经有涉及到。在达朗贝尔[4]的从1743 年到1758 年的著作中，对二阶微分方程组

3d2yi aikyk 0 i 1，2，3 进行了探讨，为了解这个方程组，对3个方程分别乘上一个常dt2k 1

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量vi，而后加在一起得

于 vaii 13ik vk 0 k 1，2，3 ，即如果 v1v2v3 是矩阵A aik 相应 的特征向量，那么变换u v1y1 v2y2 v3y3就是把方程化简成单个微分方程d2u u 0。在化简过程中孕育了特征向量、特征值等概念。 2dt

受到二次曲面的启发，通过二次型的化简对微分方程进行研究，柯西在研究的过程中孕育了对称矩阵、特征方程、正交变换等矩阵中的概念。在二次 曲面的问题中，柯西通过将一个二次曲面用一个二次型来表示，再通过将坐标变换将二次型转换成只含有平方项的形式。即将矩阵在线性变换的作用下实现对角化，并在n个变量的二次型中，将系数化为对角矩阵。之后柯西、西尔维斯特、雅可比等人分别证明了是对成矩阵的特征根是实数。

2.3 行列式中的矩阵思想

矩阵和行列式的发展是同时进行的。行列式的发展促进了矩阵的产生，矩阵的发展则为行列式的进步起了推动作用。线性方程组的问题早在17世纪中期就已经出现了，先后有莱布尼兹、克莱姆等数学家运用行列式来解决线性方程组的问题。1764年，Bezout和欧拉分别证明了含有n个未知量n个方程的的齐次线性方程组在系数行列式等于零的时候有非零解。

在行列式的发展中，贡献较为突出的就是范德蒙，较为著名的理论成果主要以其名字命名的范德蒙行列式。范德蒙之后，柯西在行列式的理论方面也有突出贡献，他的贡献主要是一般行[5]

列式的乘法定理。证明了新组的行列式是原来2 个组的行列式的乘积，即ci.j

里ai.j和bi.j代表n阶行列式，n ai.jbi.j，这ci.j ai.kbk.j。这些理论中，实际上涉及了矩阵论中的正

k 1

定矩阵、对称矩阵以及相似变换等概念和知识。之后又有雅可比和爱森斯坦等人分别在行列式的研究中涉及到了相对应矩阵论中矩阵的运算不符合交换律等问题。

2.4 矩阵的创立

1850年，西尔维斯特在研究方程的个数与未知量的个数不相同的线性方程时，由于无法使用行列式，所以引入了Matrix-矩阵这一词语。现代的矩阵理论给出矩阵的定义就是：由m n个数排成的m行n列的数表。在此之后，西尔维斯特还分别引入了初等因子、不变因子的概念[5]。虽然后来一些著名的数学家都对矩阵中的不同概念给出了的定义，也在矩阵领域的研究中做了很多重要的工作。但是直到凯莱在研究线性变化的不变量时，才把矩阵作为一个独立的数学概念提

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出来，矩阵才作为一个独立的理论加以研究。

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