江苏省南通市2014届高三第三次调研测试数学试卷

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江苏省南通市2014届高三第三次调研测试

数学学科

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上． ．．

1． 已知集合A x|1≤x≤2 ，B 1,2,3,4 ，则A

【答案】 1,2

2． 已知复数z满足z i 1 i（i是虚数单位），则z

【答案】1 i

3． 袋中有2个红球，2个蓝球，1出2个球，则取出的球颜色相同的概率为 ▲ 【答案】1

B ．

4． 平面 截半径为2的球O所得的截面圆的面积为则球心O到平面 的距离为 ▲ ． （第5题）

5． 如图所示的流程图，输出y的值为3，则输入x的值为．

【答案】1

6． 一组数据2,x,4,6,10的平均值是5，则此组数据的标准差是

【答案】7． 在平面直角坐标系xOy中，曲线C,且过点,则曲线C的标准方程

为 ▲ ． 【答案】y2 x2 1

8． 已知函数f(x)对任意的x R满足f( x) f(x)，且当x≥0时，f(x) x2 ax 1．若

f(x)有4个零点，则实数a的取值范围是 ▲ ．

【答案】 2,

9. 已知正实数x,y满足(x 1)(y 1) 16，则x y的最小值为 ▲ ．

【答案】8

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10． 在直角三角形ABC中，C=90°，AC 6，BC 4．若点D满足AD 2DB，则|CD| ▲ ．

11．已知函数f(x) sin( x )的图象如图所示，则f

(2)22

12．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x y 4x y k(x 1)上存在一点P，使过P是 ▲ ．

【答案】

【答案】10

13．设数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列．若a1 a2，b1 b2，且bi ai2(i 1,2,3)，则

数列{bn}的公比为． 【答案】3

14．在△ABC中，BC，AC=1，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点

在直线AB的两侧）．当 C变化时，线段CD长的最大值为 ▲ ． 【答案】3

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字．．．．．．．

说明、证

明过程或演算步骤．

15．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD． （1）求证：AB∥EF；

（2）求证：平面BCF⊥平面CDEF．

【证】（1）因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD， 因为AB 平面CDEF，CD 平面CDEF，

所以AB∥平面CDEF．……………………… 4分 A B

（第15题）

E F

D

C

因为AB 平面ABFE，平面ABFE平面CDEF EF，

所以AB∥EF． …………………………… 7

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（2）因为DE⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，

所以DE⊥BC． …………………………… 9分

因为BC⊥CD，CD

DE D，CD,DE 平面CDEF，

所以BC⊥平面CDEF． …………………………… 12分

因为BC 平面BCF，平面BCF⊥平面CDEF． …………………………… 14分

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b 4，BA BC 8．

（1）求a2 c2的值；

（2

）求函数f(B) BcosB cos2B的值域．

【解】（1）因为BA BC 8，所以accosB 8． …………………………… 3分

由余弦定理得b2 a2 c2 2accosB a2 c2 16，

因为b 4，所以a2 c2 32． …………………………… 6分

（2）因为a2 c2≥2ac，所以ac≤16， …………………………… 8分

所以cosB 8≥1．

ac2

π

因为B 0,π ，所以0 B≤． …………………………… 10

3

分

因为f(B) BcosB cos2B 2B 1(1 cos2B) sin(2B π) 1，…… 12

262分

由于

ππ5π

2B ≤，所以sin(2B π) 1,1 ，

6 2 666

所以f(B)的值域为 1, ． …………………………… 14

2

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17．某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆

弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设．．计为沿弧

侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计） BC的弧形小路，在路的一．．

C

（1）设 ÐBAC=q（弧度），将绿化带总长度表示为q的函数s( )； （2）试确定q的值，使得绿化带总长度最大． 【解】（1）如图，连接BC，设圆心为O，连接CO． 在直角三角形ABC中，AB 100， BAC ， 所以AC 100cos ．

由于 BOC 2 BAC 2 ，所以弧BC的长为50 2 100 ． ……………………3分 所以s( ) 2 100cos 100 ，

即s( ) 200cos 100 ， (0,π)． ……………………………7

2分

（2）s ( ) 100( 2sin 1)， ……………………………9分

令 s¢(q)=0，则 ， ……………………………11

6分

列表如下：

A

O

B

（第17题）

所以，当 时，s( )取极大值，即为最大值． ……………………………13

6分

答：当 时，绿化带总长度最大． ……………………………14

6分

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2

y2x18．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2 2 1(a b 0)的离心率为1，过椭圆右

2ab

焦点F作

两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，AB CD 7． （1）求椭圆的方程； （2）求AB CD的取值范围．

【解】（1）由题意知，e c 1，CD 7 2a，

所以a2 4c2,b2 3c2．

()2

因为点(c,)在椭圆上，即2 1，

24c3c2

2

（第18题）

所以c 1．

2y2x所以椭圆的方程为 1． ……………………………6分

（2）① 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，

由题意知AB CD 7； ……………………………7分 ② 当两弦斜率均存在且不为0时，设A(x1,y1)，B(x2,y2)， 且设直线AB的方程为y k(x 1)， 则直线CD的方程为y (x 1)．

k

将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得(3 4k2)x2 8k2x 4k2 12 0，

所以x1 ，x2 12(k2 1)

所以AB |x1 x2| ． ……………………………10分

3 4k2

12(12 1)

12(k2 1)同理，CD ． 2

3k 43 2k

12(k2 1)12(k2 1)84(k2 1)2

所以AB CD ， ………………………12

3 4k23k2 4(3 4k2)(3k2 4)

分

令t k2 1，则t 1，3 4k2 4t 1，3k2 4 3t 1， 设f(t)

(4t 1)(3t 1)

1 1 12 (1 1)2 49， 22

tt24tt

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因为t 1，所以1 (0,1)，

t所以f(t) (12,49]，

所以AB CD 84 [ …… 此处隐藏：5563字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……