专题04 根与系数的关系_答案 【9年级数学 培优新帮手】

专题 04 根与系数的关系

例1. 152

s ≥-且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -<

例 3. 设22

3,A βα=+22

3,B αβ=+ 31004A B += ①

A B -= ② 解由① ②联立的 方程组得

1(4038

A =- 例 4. 0,s ≠故第一个等式可变形为211()99()190,s s ++= 又11,,st t s

≠∴是一元二次方程 299190x x ++=的两个不同实根, 则1199,19,t t s s

+=-=即199,19.st s t s +=-= 故41994519st s s s t s

++-+==- 例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20

(2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+易知3,2x y 是一元二次方程

22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴?≥, 即2223221440z az a -+-≤, 由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ?=--??-≥

解得a ≥故正实数a

的最小值为 (3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11,6x y xy +=??=?或6,()xy 11.

x y +=??=?舍原式=()()222222212499x y x y xy x y +-++=． 例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ?-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2，

且x 1<0<x 2，由韦达定理得x 1+ x 2=b a -，12c x x a

=，

由0+=，

得0b c a a =，

)12120x x x +=，

解得2x =

假设2x

，由10x ＜

推得3-不成立，

故2x 假设21x ≥，

1，由10x ＜推

得10x ，矛盾．故21x ＜，综上所

述

21x ＜．解法二：设()2f x ax bx c =++

，由条件得)

b =，

得

)

33

55

f a c a c

=++=-++=，

(

)

1

f a b c a a c?

=++=--

?

．若a＞0，0

c＜，

则0

f＜，()10

f＞；若a＜0，0

c＞

，则0

f＞，()10

f＜．∴0

ac＜

时，总有()10

f f.＜，故原方程必

1之间．

A级1．3 2．2 3．-2 m＞2 0＜m≤

1

8

3

提示：

1

2

x-

＞，

2

2

x-

＞与

12

4

x x

+-

＞，

12

4

x x?＞不等价．

4．

10013

4016

-提示：由条件得2

n n

a b n

+=+，2

2

n n

a b n

?=-，则()()()

2221

n n

a b n n

--=-+，

则

()()

2

1111

2221

n

a b n n

??

=--

?

--+

??

．5．C 6．C 7．A 8．A 9．提示：（1）()2

=2120

m

?-+＞（2）

2

124

m

x x=-≤0，m=4或m=0．10．（1）

4

3

k-

＞且0

k≠（2）存在k=4 11．由题意得2

m n

=，22

4840

n m n

--+＜．当n=1时，m=2；当n=2时，m=4．12．设方程两根为

1

x，2

x，则12

12

,

.

x x mn

x x m n

+=

?

?

=+

?

∵m，n，

1

x，

2

x均为正整数，设

12

1

x x

≥≥，1

m n

≥≥，则

()

1212

x x x x mn m n

+-=-+，即有()()()()

12

11112

x x m n

--+--=，则

()()

()()

12

112,1,0,

110,1,2.

x x

m n

?--=

?

?

--=

??

∴

1

2

3,2,5,

2,2,1,

5,2,3,

1,2,2.

x

x

m

n

=

?

?=

?

?

=

?

?=

?

故

5,2,3,

1;2; 2.

m m m

n n n

===

???

???

===

???

B级1．0 提示：由条件得2

11

30

x x

+-=，2

22

30

x x

+-=，∴2

11

3

x x

=-，2

22

3

x x

=-，∴

()

32

11111111

333343

x x x x x x x x

=-=-+=-+=-，

∴原式=()()

121212

434319431241944

x x x x x x

---+=--++=++．又∵

12

1

x x

+=-,∴原式=0．2．

8

5

3．5 4．

63

8

-提示：()2

=240

a

?-+＞，原式=

2

96363

2

488

a

??

----

?

??

≤．5．D 6．C 7．B 8．B 9．()231

αβαβ

+-=，由根与系数关系得()241

a b ab

+-=，即()21

a b

-=，

a -

b =1．又由0?≥得()2316a b ab +≥，从而()24a b +≤．由a -b =1，()2

4a b +≤，得满足条件的整数点对（a ，b ）是（1,0）或（0，-1）． 104447αβ+=，66

2248p αβαβ-==-，()

2244227q αβαβαβ-==-．

11．a +b =3,c +d =4,ab =1,cd =2,a +b +c +d =7,222219a b c d +++=．

(1)原式=()()()()7a a b c d a b c d d a b c d d a b c a a b c d a b c b c d +++-+++++-+++=-++++++…+ 77777.b c d b c d M c d a d a b a b c

+-+-+-=-++++++ （2）原式=()()

()()

2222a a b c d a b c d d a b c d d a b c b c d a b c +++-+++++-+++=++++…+

()()22227774968M a b c d M --+++=-．

12．（1

）m =． （2）原式=()()()22212121221212352312122m x x x x x x m m m x x x x ??+-+????=-+=-- ?-++?

?． ∵11m -≤≤,∴当m =-1时，221212

11mx mx x x +--的最大值为10． 13．设20x ax b ++=的两根分别为,αβ（其中,αβ为整数且αβ≤），则方程20x cx a ++=的两根分别为1,1αβ++，又∵,(1)(1)a a αβαβ+=-++=，两式相加，得2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=，从

而2123αβ+=??+=?，或2321αβ+=-??+=-?，解得12αβ=-??=?，或53αβ=-??=-?，∴012a b c =??=-??=-?，或8156a b c =??=??=?

，∴3a b c ++=-或29．