线性代数练习册答案

答案

第一章 行列式

答案

一、计算下列行列式 1. 1 a b 1 a ( c ) ( b) ( a ) c b

习题一

二阶与三阶行列式

a 1 c b 1 ( b) ( c ) c 1 a ( a ) 1 b c 1 1 a 2 b2 c 2sin cos sin sin cos cos cos sin 0 sin cos 2 2 2 2 cos cos sin sin cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 1

2. cos sin

7 D 7 D1 1 3 2 x1 3 x2 2 D 11 2 7 D 19 x2 2 D2 11 x1 1 D 7 D 7 1 2

二、利用行列式解下列方程组 2 1 1. 2 x1 x2 7

1 19 3

答案

2. x1 x2 3 x1 x3 2 x x 1 3 21 3 0 D2 1 3 1 2 0 1 1

1 1 0 D 1 0 1 2 0 1 1 1 1 3 D3 1 0 2 0 0 1 1

3 1 0 D1 2 0 1 4 1 1 1

x1 2, x2 1, x3 0

答案

习题二 一、计算下列排列的逆序数，并确定其奇偶性 N (3746152) 13 奇排列 1.3746152 N (917368542)=23 奇排列 2.917368542 3. n n 1 n 2 321N

排列

当 n 4k ,4k 1 时为偶排列； 3 当 n 4k 2,4k 时为奇排列. 4. 246 (2n)135 (2n 1)N 1 2 3 n n n 1 , 2

n n 1 , 2

当 n 4k ,4k 3 时为偶排列； 当 n 4k 1,4k 2 时为奇排列.

答案

习题三 n 阶行列式 二、确定 i , j 的值，满足 2843i16 j 为奇排列，16ij 32957 1、i 5, j 7 2、i 8, j 4 为偶排列。 一、填空与选择题 1.若 a1m a23a3 na41 为四阶行列式 | aij | 展开式中某一项，则 m , n 之值及该项的符号为 . m 2, n 4, 符号为正； m 2, n 4, 符号为负； (A) (B) (C) m 4, n 2, 符号为负； (D) m 4, n 2, 符号不定； 2.在 D | aij |6 6 展开式中，项 a61a52a43a34a25a16 的符号为 负 . 3.在 n 1 阶行列式中，项 a( n 1)1a( n 1)2a( n 2)3 a3( n 2)a2( n 1)a1nan( n 1)( 1) . N ((n 1)(n 1)(n 2) 1n) n (n 2) (n 3) 1 n2 n 2 2

的符号为

n2 n 2 2

答案

n 4. 阶行列式 | aij | 展开式中，含 a11a22 的项共 (n 2)! 项.

5.若 n 阶行列式中有 n2 n 以上个元素为0, 则该行列式的值为 0 . 2x x 1 中，x 3 的系数为 6.在函数f ( x ) 1 3 x 2 1 x

2

.

二、用行列式定义计算下列行列式1. 00 0 an 0 0 0 a2 an 1 0 0 0 a1 0 0 0

( 1) N ( n( n 1) 21) a1 an ( 1)n ( n 1) 2

a1 an

答案

习题四 2.0 0 0 an 1 0 0 0 0 0 0 0 a1 0 0 0 0 0 0 0 0 an a2

行列式的性质

( 1) N (( n 1)( n 2) 21n ) a1 an ( 1)( n 1)( n 2) 2

an 2 0 0

a1 an

一、填空 a11 若

a1

2 a22 a32

a13 a23 a33

D a21 a31

则

a11 D1 a21 a31

2a13 3a12 2a23 3a22 2a33 3a32

3a12 3a22 6D 3a32

答案

二、计算下列行列式 2 3 1 1. 1201 298 100 1 5 6 4 1 2 3 0 1 1 2 15 4 5 6 99 4

2 200 1 5

3 300 2 6

2. 0 1 1 11 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0

1 0 1 1

0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0

1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 2 1

答案

1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 a1 a2 3. 1 1 a1 b1 a2

1

1 1

a1 a1n

a2 b2 a2

an an an

1 a1 0 b1 0 0 0 0

a2 an 0 0 b2 0 0 bn

an bn

b1 bn bii 1

答案

4. 1 1 1

1 1 1 1 1 1

( n 阶行列式)

1 1 1 1 1 1 (n ) 1 1 1 ( n ) n 1

1 1 1 0 0 (n ) 0 0

答案

三、解行列式方程 1 2 3 1. 11 2 x2 2 3 0 2 3 1 5 2 3 1 9 x2 x 1, x 2 解： 2 x 2 1 9 x 2 5 1 2 3 4 x 2. 1 2 3 x 4 0, 1 2 x 3 4 1 x 2 3 4

答案

1 1 1 1 x1 0 0 x 2 0 x 0 x 0 0

2 2 2 x 20 0 0

3 3 x 3 3

4 x 4 4 4

1 0 0 x

2 0 x 0

3 4 x x 0 0 x x x

3 10 x x 3 (10 x ) 0

x1 x2 x3 0, x4 10

答案

习题五一、填空 8 7 1.若D 6 1 4 2 1 3 5 1 1 2 4 3 1 7 1 3 2 3

行列式按一行(列)展开

2.若

1 1 D 1 2

3.设四阶行列式 ①当 D4 4 时，第三行元素所对应的代数余子式依次为 7 5,10, a,4 ,则 a 2

3 则 A11 A12 A13 A14 0 1 1 5 3 A41 A42 A43 A44 6 则 4 3 4 1,0,2,4 D4 的第三行元素分别为

答案

②当第四行元素对应的余子式依次为 二、计算下列行列式 1. 1 0 2 a 0 2 a2 0 b 0 d 0 b 0 3 c 4 5 c 4 5 d 0 0 0 2. x y 0 0 0

5,10, a,4

时， a

21 2

dc

2 a b 0

abcd

0 0 0 y

x 0 0 0

y 0 x 0 0 x 0 0

0 0 y x

按第一列展开

x x n 1 y ( 1)n 1 y n 1 x n ( 1)n 1 y n

答案

3 2 3. a1 a1 a1 1 3 a2 3 a3 2 a2 2 a3

a13 a12 a1 1

3 a2 2 a2

3 a3 2 a3

a43 a42 a4 1

a2 1 a3 1 a4 1

a2 1

a3 1

a

3 4

a

2 4

1 a 1 a12 a13

1 a2 2 a2 2 a2

1 a3 2 a3 2 a3

1 a4 a42 a42

(a4 a3 )(a4 a2 )(a4 a1 )(a3 a2 )(a3 a1 )(a2 a1 ) 0 0 0 4. a1 a1 a1 0 0 0 0 a2 a2 0 0 0 a2 0 0 0 0 a2 0 0 0 0 0 an 0 0 0 an an 1 2 3 n 1 1 1 1 1 ( 1)n ( n 1) aii 1 n

0 0 0 n 1

答案

5.

a0 a1

1 0 x 1 0 0 0 x 0 0

0 0

0 0

0 0 0

a1

1 x 0 0

0

0

0 0 x

a2 a n 1 an

1 0 0 0

Dn 1

a2 a0 x a

n 1n

1 0 0 0 0

x 1

x 1 0 x a2 1 0

n 1 0 0 0 x

an

nD2 an 1 an 1 x

Dn

a1 x

n 1

a3 a n 1 an

x 0 0

1 0 0 0 0

n 1

x 1 a0 x n a1 x n 1 an 1 x an

Dn 1 a0 x n Dn

a0 x n a1 x n 1 Dn 1

ai x n ii 0

n