同济大学2010-11线性代数B期末考试试卷_A卷_

2010-2011学年第一学期《线性代数B》期末考试试卷(A卷)--1

同济大学课程考核试卷(A卷)

2010—2011学年第一学期

命题教师签名： 审核教师签名： 课号：122009 课名：线性代数B 考试考查：考试

此卷选为：期中考试( )、期终考试( √ )、重修( )试卷

年级 专业 学号 姓名 任课教师

题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分

（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为120分钟. 要求写出解题过程，否则不予计分）

一、填空与选择题(均为单选题)(27分)

a123 1、 已知4阶方阵A=

4

b56 9

，函数f(x)=|xE A|,这里E为4阶单位阵，则函数 78c 0

54

d

f(x)中x3项的系数为_______a+b+c+d____________.

2、 设α1,α2,α3,β1,β2均为4维列向量，已知4阶行列式

α1,α2,α3,β1=m，又

1,α2,β2,α3=n，则4阶行列式3,α2,α1,β1+β2=______n m_______________.

3、 已知3阶方阵A满足A+3E=A 2E=A E=0，其伴随矩阵为A*

，则行列式

A*=_____36_________.

4、 已知α是3维实列向量，且ααT

= 1 11 11 1 ，则α= 1 11

5、设α是R3

空间中的某一向量，它在基εT

1,ε2,ε3下的坐标为(x1,x2,x3)，则α在基

ε1+kε3,ε2,ε3下的坐标是_________(x1,x2,x3 kxT1)________________.

6、 下列关于矩阵乘法的结论中错误的是____________B_________.

(A). 若矩阵A可逆，则A与A 1可交换

(B). 可逆阵必与初等矩阵可交换

(C). 任一个n阶方阵均与cE n可交换，这里c为任意常数(D). 初等矩阵与初等矩阵乘法未必可交换

7、 设A、B均为n阶方阵，且(AB)2

=E，则下列式子中成立的是_____D_______.

(A). AB=E (B). AB= E(C). A2

B2

=E (D). (BA)2

=E

8、 设Ax=b为n元非齐次线性方程组，则下面说法中正确的是_____C____

(A). 若Ax=0只有零解，则Ax=b有唯一解 (B). 若Ax=0有无穷多个解，则Ax=b有无穷多个解

(C). 若Ax=b有两个不同的解，则Ax=0有无穷多个解

(D). Ax=b有唯一解 R(A)=n 9、 下列向量组中线性无关的是_______C__________.

(A). (1, 1,0,2),(0,1, 1,1),(0,0,0,0) (B). (a,b,c),(b,c,d),(c,d,a),(d,a,b)

(C). (a,1,b,0,0),(c,0,d,1,0),(e,0,f,0,1)(D). (1,2,1,5),(1,2,1,6),(1,2,3,7),(0,0,0,1)

23"n20"0

二、(10分) 已知n阶行列式Dn=03"0，求第一行各元素的代数余子式之和. ###%#00"n

x1+x2+x3+x4+x5=1

三、(10分)参数a,b满足什么条件的时侯，线性方程组

3x1+2x2+x3+x4 3x5

=a x2+2x3+2x4+6x5=3

5x1+4x2+3x3+3x4 x5=b有解？并在有解的情况下，求出它的通解.

2

2

四、(15分)已知3阶方阵A= 3 k 1k ，问参数k满足什么条件的时候A可以对角化？ 42 3

并求出可逆阵P及对角阵Λ，使得P 1

AP=Λ.

五、(12分)设向量组α 1 1 k 1 1= 1,α 2=k,α3=1 k ,α 4= 4 ，问： 1 1 5

(1) 参数k为何值时，α1,α2,α3为向量组的一个最大线性无关组？

(2) 参数k为何值时，α1,α2为向量组的一个最大线性无关组？并在此时，求出α3,α4由最大线性无关组表出的线性表达式.

六、(12分)设V为实数域R上全体2阶方阵关于矩阵的加法和数乘运算所成的线性空间，在V

ab

中定义映射T:T(X)=X ，(1) 证明T是V中的线性变换，(2) 求线性变换T在自

cd

然基E11,E12,E21,E22下的矩阵，(3) 若a=1,b=2,c=3,d=4，试求线性变换T的核kerT与像空间ImT.

七、(1)(7分)已知A为3阶方阵，λ1,λ2,λ3为A的三个不同的特征值，α1,α2,α3分别为相应的特征向量，又β=α1+α2+α3，试证：β,Aβ,A2β线性无关.

(2) (7分)设A为3阶实对称阵，且A+2A=0，又R(A)=2，试求出A的全体特征值，并问参数k为何值时，矩阵A+kE为正定阵?

2