5.4排序不等式1 课件(人教A版选修4-5)

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排序不等式

引入

思考感受

证明猜想

排序不等式应用

作业:课本 P 第 1,2 题. 45

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排序不等式

什么是排序不等式？ 排序不等式有什么用？ 课前,请同学们阅读课本 P42至P44 页内 容.本节,我们来认识──排序不等式.

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先思考一个具体的数字计算题： 思考 1.已知两组数 1，2，3 和 4,5,6,若 c1 , c2 , c3 是 4， 32 5，6 的一个排列，则 1c1 2c2 3c3 的最大值是_____, 28 最小值是_____.

分析: 利用排列组合的知识可知共有 6 个不同 的和数，本题可以直接计算比较得答案.

如果数大一点呢? 思考 2.已知两组数 1， 3 和 45,25,30,若 c1 , c2 , c3 2， 是 45，25，30 的一个排列，则 1c1 2c2 3c3 的最 180 220 大值是_____,最小值是_____.

可以通过直觉猜测到答案.

问题一般化 规律

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对 应 关 系 （1,2,3） （25,30,45） （1,2,3） （25,45,30） （1,2,3） （30,25,45） （1,2,3） （30,45,25） （1,2,3） （45,25,30） （1,2,3） （45,30,25）

和

备

注

S1 a1b1 a2b2 a3b3 220 S2 a1b1 a2b3 a3b2 205 S3 a1b2 a2b1 a3b3 215 S4 a1b2 a2b3 a3b1 195 S5 a1b3 a2b1 a3b2 185 S6 a1b3 a2b2 a3b1 180

同序和 乱序和 乱序和 乱序和 乱序和 反序和

发现:反序和≤乱序和≤顺序和.

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一般地，设有两组实数： a1 , a2 , a3 , …, an 与 b1 , b2 , b3 , …, bn ,且它们满足: a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤…≤ an , b1 ≤ b2 ≤ b3 ≤…≤ bn ,若 c1 , c2 , c3 , …, cn 是 b1 , b2 , b3 , …, bn 的任意一个 排列,则和 S a1c1 a2c2 ancn 称为数组( a1 , a2 , a3 , …, an )和( b1 , b2 , b3 , …, bn )的乱序和,其中按相反顺序相 乘所得积的和 S1 a1bn a2bn 1 anb1 称为反序和.按 相同顺序 相乘所得积的和 S2 a1b1 a2b2 anbn 称为

猜想:和数 a1c1 a2c2 ancn 在 a1 , a2 , a3 , …, an 与 b1 , b2 , b3 , … , bn 同 序 时 最 大 , 反 序 时 最 小 , 即 a1b1 a2b2 anbn ≥ a1c1 a2c2 ancn ≥ a1bn a2bn 1 anb1 ,等号当 且仅当 a1 a2 an 或 b1 b2 bn 时成立. 即反序和≤乱序和≤顺序和.

顺序和.根据直觉你可以得什么不等式?

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排序原理: 一般地,设有两组实数： a1 , a2 , a3 , …, an 与 b1 , b2 , b3 , …, bn ,且它们满足: a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤…≤ an , b1 ≤ b2 ≤ b3 ≤…≤ bn ,若 c1 , c2 , c3 , …, cn 是 b1 , b2 , b3 , …, bn 的任意一个 排列,则和 S a1c1 a2c2 ancn 称为数组( a1 , a2 , a3 , …, an )和( b1 , b2 , b3 , …, bn )的乱序和,其中按相反顺序相 乘所得积的和 S1 a1bn a2bn 1 anb1 称为反序和.按 相同顺序相乘所得积的和 S2 a1b1 a2b2 anbn 称为 顺序和.则 a1b1 a2b2 anbn ≥ a1c1 a2c2

ancn ≥ a1bn a2bn 1 anb1 , 即反序和≤乱序和≤顺序和. 等号当且仅当 a1 a2 an 或 b1 b2 bn 时成立.

试证明这个定理.(逐步调整法)

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例 1: 5 个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙 头注满这 5 个人的水桶需要的时间分别是 4 分钟，8 分钟，6 分钟，10 分钟，5 分钟。那么如何安排这 5 个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？

分析:这是一个实际问题,需要将它数学化,即转化 为数学问题.设第 i 一个接水的人需要 t i 分钟,则 5 人 都接满水所需的等待总时间是 S 5t1 4t2 3t3 2t4 t5

例2

练习

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设 b1 , b2 , b3 , , bn 是 a1 , a2 , a3 , …, an 的一个排列,且 b1 b2 b3 bn

1 1 1 ∵ 1 2 2 2 ，由排序不等式得 2 3 n an bn a2 a3 b2 b3 a1 2 2 2 ≥ b1 2 2 2 . 2 3 n 2 3 n ∵ a1 , a2 , …, an 是 n 个互不相同的正整数, ∴ b1 , b2 , …, bn 是 n 个互不相同的正整数,∵ b1 b2 b3 bn

an a2 a3 1 1 1 ∴ 1 ≤ a1 2 2 2 2 3 n 2 3 n

1 1 1 证明:取两组数 (1, 2 , 2 , , 2 ) 与（ a1 , a2 , a3 , …, an ） 2 3 n

例 2:设 a1 , a2 , …, an 是 n 个互不相同的正整数, an a2 a3 1 1 1 求证: 1 ≤ a1 2 2 2 2 3 n 2 3 n

bn b2 b3 1 1 1 ∴ bi ≥ i (i 1, 2, 3, , n) ∴ b1 2 2 2 ≥ 1 2 3 n 2 3 n

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课堂练习: 1.课本第 45 页第 4 题 设 a1 , a2 , a3 , …, an 为正数，试分别用柯西不 等式与排序不等式证明： an 12 an 2 a12 a2 2 ≥ a1 a2 an . a2 a3 an a1 2.已 知 a, b, c 为 正 数 ， 试 用 排 序不 等 式 证明 ：

a b b c c a ≥ abc . a b c

2 2 2 2 2 2

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课外训练: 1.在△ABC 中，ha , hb ,hc 为边长 a,b,c 上的高， 求证：asinA+bsinB+csinC≥ ha + hb +hc. 1 2.已知 x1， x2，…， xn≥0，x1 +x2 +…+xn≤ ， 2 1 求证: (1 x1 )(1 x2 ) (1 xn ) ≥ ． 2 3.（IMO 试题）在△ABC 中, a、b、c 分别是三边 BC、AC、AB 的长，求证： a 2 (b c a) b2 (c a b) c 2 (a b c ) ≤ 3abc ．

作业:课本 P 第 1,2 题. 45