2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科真题及答

绝密★启用前 试卷类型：A

2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学（理科）

本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟

注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考

生号、考场号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔讲试卷类型（A）填涂在答题卡相应的位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试题与答题卡一并交回。 参考公式：台体的体积公式V=(S1+S2+

下底面积，h表示台体的高。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合M={x∣x2+2x=0,x∈R},N={x∣x2-2x=0,x∈R},则M∪N= A. {0} B. {0，2} C. {-2,0} D {-2,0,2}

2.定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sinx中，奇函数的个数是 A. 4 B.3 C. 2 D.1

3.若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是 A. （2,4） B.（2,-4） C. (4,-2) D(4,2) 4.已知离散型随机变量X的分布列为

)h,其中S1，S2分别表示台体的上、

则X的数学期望E（X）= A.

B. 2

C.

D 3

5．某四棱太的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是

A．4 B．

C．

D．6

6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A．若α∥n

C．若m⊥ n，m α，

n

β，则α

⊥β

，mα，n

β，则m⊥ n B．若α∥β，m

α，nβ，则m

⊥β

D．若m α，m∥n，n∥β，则α

⊥β

7．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是 A．

= 1 B．

= 1 C．

= 1 D．

= 1

8.设整数n≥4，集合X=｛1，2，3 ，n｝。令集合S=｛（x,y,z）|x，y，z∈X，且三条件x<y<z,y<z<x，z<x<y恰有一个成立｝，若（x，y，z）和（z，w，x）都在s中，则下列选项正确的是 A.（y，z，w）∈s，（x，y，w）C. （y，z，w）

S B.（y，z，w）∈s，（x，y，w）∈S

s，（x，y，w）

S

s，（x，y，w）∈S D. （y，z，w）

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。 （一）必做题（9~13题）

9.不等式x2+x-2<0的解集为。 10.若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则。 11.执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为

12，在等差数列{an}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=___

13．给定区域：.令点集T=|(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点，则T中的点共确定____条不同的直线。 （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）

14（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为（t为参

数），C在点（1,1）处的切线为L，一座标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标，则L的极坐标方程为_______.

15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D是BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E。若AB=6，ED=2，则BC=______.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答需写出文字说明。证明过程和演算步骤。

16.（本小题满分12分）

已知函数f（x）=cos（x-），XER。

（1） 求f（

-）的值； （2） 若cosθ

=，θE（

17．（本小题满分12分）

某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数。

，2π），求f（2θ

+

）。

（1） 根据茎叶图计算样本均值；

（2） 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人。根据茎叶图推断该车间

12名工人中有几名优秀工人？

（3） 从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率

18（本小题满分4分）

如图5，在等腰直角三角形ABC中，∠A =900 BC=6,D,E分别是AC，AB上的点，CD=B

E=

，O为BC的中点.将△ADE沿DE折起，得到如图6所示的四棱椎A’-BCDE，其中A’O=?3

（1） 证明：A’O⊥平面BCDE；

（2） 求二面角A’-CD-B的平面角的余弦值

19.（本小题满分14分）

设数列｛an｝的前n项和为Sn，已知a1=1，

=an+1-

n2 –

n - ，n∈N·.

（1）求a2的值

（2）求数列｛an｝的通项公式a1 （3） 证明：对一切正整数n，有

+

＜

20.(本小题满分14分)

已知抛物线c的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线L:x-y-2=0的距离为为直线L上的点，过点P做抛物线C的两条切线PA，PB,其中A,B为切点。 （1） 求抛物线C的方程；

（2） 当点P（）x0，y0）为直线L上的定点时，求直线AB的方程； （3） 当点P在直线L上移动时，求|AF|·|BF|的最小值 21.（本小题满分14分）

设函数f（x）=（x-1）ex-kx2（k∈R）. (1) 当k=1时，求函数f（x）的单调区间；

(2) 当k∈（1/2,1]时，求函数f（x）在[0,k]上的最大值M.

. 设P

2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)答案

数学（理科）

一、选择题

1-5．DCCAB 6-8．DBB 二、填空题

9．(-2,1) 10．-1 11．7 12．20 13．6 14． sin( ) 2 15．2

4三、解答题

16．（1）由题意f( ) cos( （2）∵cos , (

6

3 4,2 )，∴sin -．

52

32743242

∴cos2 2cos -1 2 () 1 ,sin2 2sin cos 2 ( )

5255525

∴f(2 ) 2cos(2 ) 2cos(2 ) 2(cos2 cos sin2 sin)

3312444

2272417

2(cos2 sin2 ) cos2 sin2 ( )

22252525

3

5

2 ) 2cos( ) 2 161242

．

17 19 20 21 25 30

22． 17．（1）样本均值为x

6

（2）根据题意，抽取的6名员工中优秀员工有2人，优秀员工所占比例为

故12名员工中优秀员工人数为 12 4（人）． （3）记事件A为“抽取的工人中恰有一名为优秀员工”，

由于优秀员工4人，非优秀员工为8人，故

21

63，

13

4 816

， 2

6633C12

16

即抽取的工人中恰有一名为优秀员工的概率为．

33

事件A发生的概率为P(A)

11C4C8

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