初一有理数的四则混合运算

第5讲 有理数的四则混合运算

一、知识梳理

（一）有理数乘方

1.求n个相同因数的积的运算叫做乘方.

2.一般地，在a中，a取任意有理数，n取正整数. 应当注意，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果. 当a看作a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂.

3.a

（1） 横向观察：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶数幂是正数；零的任何次幂都是零.

（2） 纵向观察：互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数，偶次幂相等. （3） 任何一个数的偶次幂都是非负数.

nn

当a>0时，a>0（n是正整数）；当a=0时，a=0（n是正整数）. （以上为有理数乘方运算的符号法则）

2n-1

a2n=(-a)（n是正整数）=-(-a)；a

2n

2n-1

n

n

底数

n

n

a a a a a 就是表示n个a相乘，所以有

（n是正整数）

a2n 0（a是有理数，n是正整数）

（二）在没有括号的不同级运算中，先算乘方再算乘除，最后算加减.

二、典例剖析

专题一：有理数的乘方

例1：计算下列各题，把答案填在横线上。 ①2

44

3

② 2

③5

2

2

④5

3

（-2）； ⑥（-2）； ⑦（-5） ⑤

【变式】

1、计算下面各题，把答案填在横线上。

3

2

3

（-5）； ⑧

3

2

433

①[ ( 3)]= ； ② ( 4)； ③ ( )；④ ；

34

132222

⑤ ( 0.02) ⑥ ( 1)；⑦ 3 (

233333276

⑧[( 2) ( 3)] ⑨( ( )；⑩4 ( 0.25)。

44

2、计算下列各题： ①( 1)

②( 5)

2n

( 1)2n 1 ( 1)2011（n为正整数）

2n 1

5 ( 5)2n (2000)2n (

12n

) 2000

1

专题二：有理数的混合运算

例2： （1） 2 ( 2) ( 3) ( ) 4 4

2

2

2

23

2

（2） 3 1.2 0.3 ( ) ( 3) ( 1)

2

2

2

13

232008

222 2

（3）（乘方意义的理解） 32 5 3

3 3

【变式】

（1） 1 ( 5) ( ) 0.8 1

4

2

2

53

（2） 1 (0.5 1) ( ) [2 ( 3)]

2

13

2

（3）22+(-2)3×5-(-0.28)÷(-2)2

211

（4） 14 (0.5 ) [ 2 ( 3)3] 0.52

338

例3：①

2 2 52 1 5 87 3 1 4

2

7 12 115 22

2 --12 2 ②

1932619

③ 14 0.5

2 1 13

2 3 0.52 83 3

1 2

2 1 13

2 ④2

0.125 23 1 3 2

3

3

4 2 2 1 2 2 2 1 1 1 11 2

【变式】① 2 2 5 ； ②3 8 2

2 6 4 3 3 12 2 3

专题三：有理数的绝对值及平方的非负性及其应用

例4：已知x,y满足y x2 42 0，求：x y的值.

3

【变式】已知2005 x y 与y 互为相反数，求x2 2xy y2的值.

2

1

3

四、创新探究（培优训练）

1、当x _____时，(x 3)2 12的值最小，最小值为_________; 当x _____时，3 x 5的值最大，最大值为_________;

2、设有理数a、b、c满足a+b+c=0， abc>0, 则a、b、c中正数的个数为_____个。 3、已知四个整数a、b、c、d互不相等，且abcd=25，则a+b+c+d=________。

abcd

4、四个有理数a、b、c、d满足

abcd

1, 则

aa

bb

cc

dd

的最大值是_______。

x 2007y 2007 0，若x、y互为相反数，则x ，5、（2011年中考）已知2006

y 。

6、若a,b互为相反数，m，n互为倒数，k=4，则100a 99b mnb k的值为_______

7、若a 25,b 3，则a

8、已知x是有理数，则x x 的最小值是_____，x的取值范围是______________；

9、若“！”是一种数学符号，并用1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1， ，则

10、已知a 1，b 2，且a b b a，ab 0，求a

2

1999

2

b2000的末位数是_______

100!

的值为______. 98!

1

(b 1)2的值。 3

4

家庭作业

校区： 学号： 姓名：______ 作业等级：______

第一部分：

1、数轴上点A表示数-3，点B表示1，则A、B两点之间的距离的算式是（ ） A.-3+1 B.-3-1 C.1-(-3) D.1-3

第二部分：

2、计算（能简算的要简算）： （1） 9.2 7.4 9

1 2

6 4 3 5 5

12222

3 1.2 0.3 ( ) ( 3)3 ( 1)2009; （2）

3

3、（概念理解） 已知x 2，y的平方等于16，求x y的值.

4、已知式子

5、 阅读下面材料并完成填空．

20072006n

你能比较两个数2006和2007的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较n＋1n

和(n＋1)的大小(n≥1的整数)．然后，从分析n＝1，n＝2，n＝3， ，这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．

(1)通过计算，比较下列①～③各组两个数的大小(在横线上填“＞”“＜”或“＝”)

21324354

①1______2； ②2______3； ③3______4； ④4______5；

n＋1n

(2)从第(1)小题的结果经过归纳，可以猜想出n和(n＋1)的大小关系是：

___________________________________________________________________________．

20072006

(3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，可以得到2006______2007(填“＞”“＜”或“＝”)．

5

abab2

的最大值为p，最小值为q，求代数式669p-q的值 |a||b||ab|

6