第二章、模糊控制理论基础

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第二章 模糊控制理论基础第一节 引言 一、模糊控制的发展 二、模糊控制的特点 1、无需知道被控对象的数学模型 2、是一种反映人类智慧思维的智能控制。 模糊控制采用人类思维中的模糊量，如“高”、 “中”、“低”等，且控制量由模糊推理导出。 3、易于被人们所接受(核心：控制规则) 4、构造容易 5、鲁棒性好。

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三、模糊控制器构造技术 1、硬件：采用传统的单片机 软件：实现模糊推理和控制 2、模糊单片机或集成电路芯片 3、可编程门阵列

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第二节 模糊集合论基础 一、模糊集的概念

二、模糊集合的运算

三、隶属函数的建立

四、模糊关系

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一、模糊集的概念 集合：具有某种特定属性的对象的全体。 集合中的个体通常用小写英文字母如：u表示； 集合的全体又称为论域通常用大写英文字母如：U表 示。 u∈U表示元素(个体)u在集合论域(全体) U内。

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集合表示法(经典集合): (1)列举法：将集合的元素全部列出的方法。 (2)定义法：用集合中元素的共性来描述集合的方法。 (3)归纳法：通过一个递推公式来描述一个集合的方法。 (4)特征函数表示法：利用经典集合论非此即彼的明晰性 来表示集合。因为某一集合中的元素要么属于这个集合， 要么就不属于这个集合。例2-1 设集合U由1到5的五个自然数组成，用上述前三种方法写 出该集合的表达式。 解：(1)列举法 U={1,2,3,4,5} (2)定义法 U={u|u为自然数且1≤u≤5} (3)归纳法 U={ui+1=ui+1, i=1,2,3, 4, u1=1} 特征函数表示法：集合U通过特征函数TU(u)来表示

1 TU ( u ) = 0

u ∈U u U

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经典集合论中任意一个元素与任意一个集合之间的 关系，只是“属于”或“不属于”两种，两者必居其一 而且只居其一。它描述的是有明确分界线的元素的组合。 用经典集合来处理模糊性概念时，就不行。 对于诸如“速度的快慢”、“年龄的大小”、 “温度的高低”等模糊概念没有明确的界限。 经典集合对事物只用"1"、"0"简单地表示“属于” 或“不属于”的分类；而模糊集合则用“隶属度 (Degree of membership)”来描述元素的隶属程度， 隶属度是0到1之间连续变化的值。 特征函数 模糊集合 隶属度函数(0~1连续变化值)

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例：人对温度的感觉(0°C ~40°C的感觉): “舒适”的温度：15°C ~25°C “热”: 25°C以上 “冷”: 15°C 以下 经典集合：14.99°C属于“冷”;15.01 °C属于舒适。 与人的感觉一致吗？

1.0 冷 0 15 舒 适 温 度 25

1.0

µ(T)

µ(T)

冷

热 40 °C

舒适 温度 15 25 40

热 °C

0

经典集合对温度的定义

模糊集合对温度的定义

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设U为一可能是离散或连续的集合，用{u}表示， 论域(Universe of Discourse): U 所有元素

组成的全集 元素：u 定义2-1 模糊集合：论域U中的模糊集合F用一个 在区间[0,1]上的取值的隶属函数 F来表示，即： 隶属函数µ 隶属函数 µF :U →[0,1] u → µF (隶属函数 µF:u隶属于F的程度) (映射)

µF (u)=1:u完全属于F; µF (u)= 0:u完全不属于F; 0< µF (u)<1:u部分属于F。 U中的模糊集F可以用元素u和它的隶属度来表示： F={(u ,µF (u) )| u∈U}

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例2-2 设F是远大于0的实数集合(显然F是模糊集 合，而论域U表示全部实数集合),U中任一元素u隶 属模糊集合F的隶属度µF (u)可以用下式来定义： 0 µF (u)=1 100 1+ 2 u

x ≤0 x>0

可算出µF (5)=0.2, µF (10)=0.5, µF (20)=0.8 可见µF (u)是U到闭区间[0,1]的映射。 U5 10 20

[0,1] µF (u)0.2 0.5 0.8

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模糊集合的表示方法： 1、论域U为离散域(即论域U是有限集合) (1)查德表示法 F = ∑ µ F (u i)/u i i =1n

例：集合F表示接近于0的整数(已知论域U={0,1,2,3,4,5})F= 1.0 0.9 0.75 0.5 0.2 0.1 + + + + + 0 1 2 3 4 5

(2)序偶表示法

F ={(u1,µ(u1)),(u2 , µ(u2)),…,(un , µ(un))}

例： F ={(0,1.0), (1 ,0.9), (2 ,0.75), (3,0.5),(4 ,0.2), (5 ,0.1) } (3)向量表示法 F ={µ(u1),µ(u2),…,µ(un)} (元素u按次序排列) F 例： ={1.0 ,0.9, 0.75,0.5,0.2 ,0.1 }

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模糊集合的表示方法： 2、论域为连续域

F = ∫ µF / u

例 以年龄为论域，取 U = [ 0,100] 。Zadeh给出了“年轻”的模糊集F, 其隶属函数为1

Degree of membership

0 ≤ u ≤ 25 1 1 µ F (u ) = u 25 2 25 < u ≤ 100 1 + 5

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

模糊集合表示为：

u 25 2 1 F = ∫ 1/ u + ∫ [1 + ( ) ] /u 5 0≤u ≤ 2525<u ≤100

0

0

20

40

60 X Years

80

100

120

“年轻”的隶属函数曲线

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二、模糊集合的运算 定义： (1)空集 模糊集合的空集的隶属度为0,即

A = φ µ A (u ) = 0 ( u ∈ U )(2)全集 模糊集合的全集的隶属度为1,即 (3)子集(包含于) 3 若B为A的子集，则( A, B ∈ F (U ))

A = U µ A (u ) = 1 ( u ∈ U )B A µ B (u ) ≤ µ A (u ) ( u ∈ U )

(4)等集 两个模糊集A和B,若对所有元素u,它们的隶属函数 相等，则A和B也相等。即

A = B µ A (u ) = µ B (u )

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设A、B为U中的两个模糊子集，隶属函数分别为µA 和µB,则模糊集合中的并、交、补等运算按如下定义： 定义2-4 并：并(A∪B)的隶属函数µA∪B对所有的u ∈U 定义 被逐点定义为取大运算，即： µA∪B= µA(u)∨µB(u) 式中，符号“∨”为取大值运算。

定义2-5 交：交(A∩B)的隶属函数µA∩B对所有的u ∈U 被 定义 逐点定义为取小运算，即： µA∩B= µA(u)∧µB(u) 式中，符号“∧”为取小值运算。 定义2-6 补：模糊集合A的补隶属函数µā 对所有的u ∈U 定义

被逐点定义为： µā =1- µA(u)

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例2-3 设论域U={u1, u2, u3, u4, u5}中的两个模糊子集为：A= 0.61

u u u u2 3

+

0.5

+

1

+

0.44

+

0.3

B=

0.51

u

5

u u

+

0.62

+

0.3 0.4 0.7 + +

u u3

4

u

5

则A、B的并运算：A∪ B = 0.6 ∨ 0.5

u

+

0.5 ∨ 0.6 1 ∨ 0.3 0.4 ∨ 0.4 0.3 ∨ 0.7 0.6 0.6 1 0.4 0.7 = + + + + + + +

1

u

2

u

3

u

4

u

5

u u u u1 2 3

4

u

5

则A、B的交运算：A∩ B = 0.6 ∧ 0.5

u

0.5 ∧ 0.6 1 ∧ 0.3 0.4 ∧ 0.4 0.3 ∧ 0.7 = 0.5 + 0.5 + 0.3 + 0.4 + 0.3 + + + +

1

u

2

u

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