第28课时 圆和圆有关的计算

2011年中考总复习

第 28 讲

和圆有关的计算

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考点一 弧长、扇形的面积 nπr . 180 2.由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形.若扇形的圆心角为 2 nπr 1 n° ,所在圆半径为 r,弧长为 l,面积为 S,则 S= ,或 S= lr. 360 2 1.如果弧长为 l,圆心角为 n° ,圆的半径为 r,那么弧长的计算公式为：l=

考点二 圆柱和圆锥 1.圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱的底面周长 c,宽是圆柱的母线长 l,如果圆柱的底面半径是 r,则 S 圆柱侧=cl=2πrl. 2.圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥的底面周长 c,半径等于圆锥的 r 1 母线长 l.若圆锥的底面半径为 r,这个扇形的圆心角为 α,则 α= · ,S 圆锥侧= cl=πrl. 360° l 2考点三 阴影部分的面积 1.规则图形：按规则图形的面积公式去求. 2.不规则图形：采用“转化”的数学思想方法.把不规则图形的面积采用“割补法”、 “等积变形法”、“平移法”、“旋转法”等转化为规则图形的面积.

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(1)(2010· 昆明)如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为 65π cm2,扇形的弧长为 10π cm,则圆锥母线长是( ) A.5 cm B.10 cm C.12 cm D.13 cm

(2)(2010· 兰州)现有一个圆心角为 90° ,半径为 8 cm 的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥 的侧面(接缝处忽略不计).该圆锥底面圆的半径为( ) A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm

(3)(2010· 哈尔滨)将一个底面半径为 5 cm, 母线长为 12 cm 的圆锥形纸筒沿一条母线剪开 并展平，所得的侧面展开图的圆心角是________度.

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(4)(2010· 龙岩)如图是圆心角为 30° ,半径分别是 1、3、5、7、 的扇形组成的图形， 阴影部分的面积依次记为 S1、S2、S3、 ,则 S50=________(结果保留 π).

【点拨】熟记扇形面积公式、弧长公式以及圆锥侧面积公式是解决本组题的基础，解决 该部分的题目要结合原图及侧面展开图寻找等量关系.1 1 【解答】(1)∵ lr=S 扇形，∴ ×10π×r=65π,∴r=13,故选 D. 2 2 90 (2)∵2πr= π×8,∴r=2,故选 C. 180 nπ (3)∵ ×122=π×5×12,∴n=150 360 (4)设每个扇形大圆半径为 R,小圆半径为 r,则 R1=3,R2=7,R3=11, ,Rn=4n -1,r1=1,r2=5,r3=9, ,rn=4n-3. 30 π 则当 n=50 时，S50= π(R2 -r2 )= ×[(4×50-1) 2-(4×50-3) 2]=66π. 50 50 360 12

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(2010· 宁波)如图，AB 是⊙O 的直径，弦 DE 垂直平分半径 OA,C 为垂足，弦 DF 与半径 OB 相交于点 P,连结 EF、EO,若 DE=2 3,∠DPA=45° . (1)求⊙O 的半径； (2)求图中阴影部分的面积.

【点拨】(1)题主要考查垂径定理；(2)题连结 OF,S 阴影=S 扇形 OEF-S△OEF.

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1 【解答】(1)∵直径 AB⊥DE,∴CE= DE= 3. 2 1 1 ∵DE 平

分 AO,∴CO= AO= OE. 2 2 又∵∠OCE=90° ,∴∠CEO=30° . 3 CE 在 Rt△COE 中，OE= = =2. cos30° 3 2 ∴⊙O 的半径为 2.

(2)连结 OF,如图所示. 在 Rt△DCP 中，∵∠DPC=45° , ∴∠D=90° -45° =45° , ∴∠EOF=2∠D=90° . 90 1 1 ×π×22=π,S△OEF= ×OE×OF= ×2×2=2. 360 2 2 ∴S 阴影=S 扇形 OEF-S △OEF=π-2. ∵S 扇形 OEF=

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1.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°,AC=4,BC=2,分别以 AC、BC 为直径画半圆，则 5 图中阴影部分的面积为 π-4.(结果保留 π) 2

(第 1 题)

(第 2 题)

2.如图，在△ABC 中，AB=AC,∠A=120° ,BC=2 3,⊙A 与 BC 相切于点 D,且 π 交 AB、AC 于 M、N 两点，则图中阴影部分的面积是 3- .(结果保留 π) 3

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3.一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥母线长与底面半径之比为( A.2∶1 B.1∶2 C.3∶1 D.1∶3

A )

4.在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示.它的 底面半径 OB=6 cm,高 OC=8 cm.则这个圆锥漏斗的侧面积是( C ) A.30 cm2 B.30π cm2 C.60π cm2 D.120 cm2

(第 4 题)

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(第 5 题) 5.如图，已知菱形 ABCD 的边长为 1.5 cm,B、C 两点在扇形 AEF 的 EF 上，求 BC 的 长度及扇形 ABC 的面积. π 3 答案：BC 的长为 cm,S 扇形 ABC= π cm2 2 8

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和圆有关的计算 和圆有关的计算 训练时间：60分钟 分值：100分 训练时间：60分钟 分值：100分

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一、选择题(每小题 4 分，共 48 分)

1. (2010· 龙岩)如图， 若圆锥底面圆的半径为 3, 则该圆锥侧面展开图扇形的弧长为( A.2π B.4π C.6π D.9π

)

【解析】扇形的弧长=2πr=2π×3=6π. 【答案】C

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(

2.(2010· 桂林)如图，一个圆锥的侧面展开图是半径为 1 的半圆，则该圆锥的底面半径是 ) 3 1 1 A.1 B. C. D. 4 2 31 1 【解析】2πr= ×2π×1,∴r= . 2 2

【答案】C

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3.(2010· 杭州)如图，5 个圆的圆心在同一条直线上，且互相相切，若大圆直径是 12,4 个小圆大小相等，则这 5 个圆的周长的和为( ) A.48π B.24π C.12π D.6π

【解析】大圆的周长为 12π,4 个小圆的周长为 4×3π=12π,所以这 5 个圆的周长的和 为 24π.

【答案】B

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4.(2010· 荆州)△ABC 中，∠A=30° ,∠C=90° ,作△ABC 的外接圆，如图，若 AB 的 长为 12 cm,那么 AC 的长是( ) A.10 cm B.9 cm C.8 cm D.6 cm

2 2 【解析】AC 的长= AB 的长= ×12=8(cm). 3 3

【答案】C

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5.(2010· 昆山)如图，在△ABC 中，AB=AC,AB=8,BC=12,分别以 AB、AC 为直 径作半圆，则图中阴影部分的面积是 ( ) A.64π-12 7 B.16π-32 C.16π-24 7 D.16π-12 7【解析】由题意可知，该图形关于直线 AD 成轴对称，所以 AD⊥BC,BD=DC.因为 BC 1 =12, 所以 BD=6, Rt△AB

D 中， 在 AD= AB2-BD 2= 82-62=2 7, 所以 S△ABD= AD· BD 2 1 = ×2 7×6=6 7.由于阴影部分的面积即为半圆 ADB 的面积减去△ABD 面积的 2 倍，所 2 1 以 S 阴影=2×( π×42-S△ ABD)=2(8π-6 7)=16π-12 7. 2

【答案】D

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6. (2011 中考预测题)如图， 已知点 A、 C、 均在已知圆上， B、 D AD∥BC, 平分∠BCD, AC ∠ADC = 120°, 四 边 形 ABCD 的 周 长 为 10 cm , 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 ( ) 3 A. B. 3 C.2 3 D.4 3 2【解析】设圆心为 O,由题意得∠B=60° ,∠ACB=30° ,∴∠BAC=90° .∴BC 为⊙O 3 的直径，连结 OA、OD,则 S 阴影 =S 等边△OAD= ×22= 3. 4

【答案】B