行列式的计算方法小结

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行列式的计算方法小结

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1、定义法 、 2、利用性质 、 3、 按行(列)展开(降阶法) 、 按行( 展开(降阶法) 4、 其他技巧： 析因子法 、 其他技巧： 箭形行列式 行(列)和相等的行列式 递推公式法 加边法(升级法) 加边法(升级法) 拆项法 数学归纳法行列式的计算方法小结

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1、定义法：适用于0比较多的行列式 、定义法：适用于 比较多的行列式

a11 a12 L a1n a21 a22 L a2 n = LLLLL an1 an 2 L ann(P97

∑j j jL1 2

( 1)τ ( j1L jn ) a1 j1 a2 j2 L anjn

n

8、9、10、11、12) 10、11、12)

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2、利用性质(直接利用；利用性质化三角形行列式) 、 直接利用；利用性质化三角形行列式) P98-99:12、17( (P98-99:12、17(2)) 例1.若 n 级行列式 Dn = aij 满足 .

a ji = aij ,

i , j = 1,2,L , n

证明：当 n 为奇数时，Dn = 0. 为奇数时， 证明： 为奇数， 例2.设 n 为奇数，将 n 2 个数 1,2,L ,n 2 排成一个 . n 阶行列式 ， 使其每行 、 每列的元素之各都相等 。 阶行列式， 使其每行、 每列的元素之各都相等。 证明该行列式能被全体元素的和整除。 证明该行列式能被全体元素的和整除。提供网站：http://www.77cn.com.cn http://www.77cn.com.cn http://www.77cn.com.cn

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设排成的n 解：设排成的 级行列式为 Dn = aij ,则 Dn 所有 元素之和 n2 ( n 2 + 1) 2 s = 1+ 2 +L+ n = , 2 且每行、 且每行、每列的元素之和

s n( n + 1) b = ∑ aik = ∑ aki = = n 2 k =1 k =1n n 2

,

i = 1,2,L , n

于是

1 1 Dn c1 + c2 + L + cn b M 1

a12 a22 M an 2

L a12 L a2 n M L ann

行列式的计算方法小结

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n 1 r1 + r2 + L + rn b M 1

b a22 M an 2

L b L a2 n M L ann

1 = nb 1 M 1

b b L n n a22 L a2 n M M an 2 L ann

b n2 + 1 因为n为奇数 为奇数， 为偶数， 因为 为奇数，所以 n 2 + 1 为偶数，从而 = n 2 为整数。 为整数： 为整数。所以下面行列式的值 m 为整数： b b 1 L n n 1 a22 L a2 n m M M M 1 an 2 L ann∴ Dn = nbm 能被所有元素之和 s=nb整除. = 整除 整除.行列式的计算方法小结

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例3.计算行列式 .

5 λ 2 2 D = 2 6 λ 0 2 0 4 λ

2 2 5 λ c1 c3 0 6 λ 2 解：原式 4 λ 0 22 0 4 λ 2 2 5 λ r3 + λ 2 4 r1 0 6 λ 2 = 0 2 4 ( λ 4)( λ 5) 2 ( λ 4)( λ 5) ( λ 4)( λ 5) 0 λ 4 2 0 λ 4 2 2 2 2 0 4 λ 4 ( λ 4)( λ 5) = 0 2 2 ( λ 4)( λ 5) ( λ 4)( λ 5) λ 4 0 0 2 ) 2 (4 2 2= (λ 5)(λ 2)(λ 8)行列式的计算方法小结

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3、 降阶法：主要利用按行(列)展开公式 、 降阶法：主要利用按行 按行(

D ∑ aik Ajk = 0 k =1n

n

D i= j ∑aki Akj = 0 i ≠ j k =1(P100:17(5)) P100:17(

{ {

i= j i≠ j

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行列式的计算方法小结

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1 3 例4.已知行列式 D = 1 . 1求 A41 + A42 ,

2 3 5 1

3 4 6 2

4 4 = 6 7 2

A43 + A44 . A43 + A44 = 9.

答案： 答案：A41 + A42 = 12,

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行列式的计算方法小结

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(一)析因子法1 1 1 2 x2 D= 2 3 2 3 2 3 2 3 1 5 1 9 x2

其他技巧

例：计算

次多项式. 解：由行列式 D 定义知为 x 的4次多项式. 次多项式 又，当 x = ±1 时，1,2行相同，有D = 0 , 行相同， , 行相同 ∴ x = ±1 为D的根. 的根. 的根 行相同， 当 x = ±2 时，3,4行相同，有 D = 0, , 行相同 的根. 的根 ∴ x = ±2 为D的根. 个一次因式: 故 D 有4个一次因式:x + 1, x 1, x + 2, x 2 个一次因式行列式的计算方法小结

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设 D = a ( x + 1)( x 1)( x + 2)( x 2), 令 x = 0, 则

1 1 D= 2 2

1 2 3 3

2 2 1 1

3 3 = 12 5 9

即， a 1 ( 1) 2 ( 2) = 12.

∴ a = 3.

∴ D = 3( x + 1)( x 1)( x + 2)( x 2)

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(二)箭形行列式bn 0 0 , ai ≠ 0, i = 1,2,3L n. L an ci 解：把所有的第 i + 1列 ( i = 1,L , n) 的 倍加到 ai第1列，得： 列

a0 c1 Dn+1 = c2 L cn

b1 a1 0 L 0

b2 0 a2 L 0

L L L L L

Dn+1

bi ci = a1a2 L an (a0 ∑ ) i =1 a i

n

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可转为箭形行列式的行列式： 可转为箭形行列式的行列式：1 + a1 1 1 1 + a2 1) L L 1 L a1 x 2) L x x a2 L L L L L L L 1 L 1 , ai ≠ 0, i = 1,2,3L n. L 1 L 1 + an

x x , ai ≠ 0, i = 1,2, 3L n. x an

行分别减去第1行 即可转为箭形行列式) (把第 i 行分别减去第 行， 即可转为箭形行列式)

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(三)行(列)和相等的行列式a 1) D = b M b b a M L L L M L b b M a

a + ( n 1)b D 解： c + c + L + c a + ( n 1)b 1 2 n M a + ( n 1)b 1 b L b = ( a + ( n 1)b ) 1 a L b M M M M 1 b L a1 b ri r1 ( a + ( n 1)b ) 0 a b M M i = 2,3,L n 0 0行列式的计算方法小结

b a M b

L L M L

b b M a

L b L 0 = ( a b )n 1 a + ( n 1)b ( ) M M L a b

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1 2 2) D = M n 1 n

2 3 M n 1

3 4 M 1 2

L n 1 n 1 L n L M M L n 3 n 2 L n 2 n 1L n 1 n 1 L n L M M L n 3 n 2 L n 2 n 1

1 2 3 解 n( n + 1) 1 3 4 D= M M M 2 1 n 1 1 1 2 rn rn 1 rn 1 rn 2 1 2 M 0 1 r2 r1 n( n + 1) M M 2 0 1 0 1 n行列式的计算方法小结

3 1 M 1 n 1

L n 1 n L 1 1 n M M M 1 L 1 1 L 1

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1 1 n( n + 1) M M = 1 1 n 2 1 n 1

L M L L

1 1 n M M 1 1 1 1 n 11 0 L 0 L L L 01 0 L 0

1 ri r1 n( n + 1) 0 L i = 2,3L n 1 2 n

1 1 n n n L L L n n 1 n 1 n L L 1 0 L 0 n 1n ( n

1) 2

1 n( n + 1) 0 L cn 1 + c1 + L + cn 2 2 n

L L L 0

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