同济大学线性代数第五版课后习题答案

第一章 行列式

1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 201

(1)1 4

183201

解 1 4

183

2 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 8 0 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1) 24 8 16 4 4 abc

(2)bca

cababc

解 bca

cab

acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3 b3 c3

111

(3)abc

a2b2c2111

解 abc

a2b2c2

bc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2 (a b)(b c)(c a)

xyx y

(4)yx yx

x yxyxyx y

解 yx yx

x yxy

x(x y)y yx(x y) (x y)yx y3 (x y)3 x3 3xy(x y) y3 3x2 y x3 y3 x3 2(x3 y3)

2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数

(1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2

解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1

解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3

解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n)

n(n 1)

解 逆序数为

2 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个)

(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个)

(6)1 3 (2n 1) (2n) (2n 2) 2 解 逆序数为n(n 1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个)

(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个)

(2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n 2) (n 1个) 3 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项 解 含因子a11a23的项的一般形式为

( 1)ta11a23a3ra4s

其中rs是2和4构成的排列 这种排列共有两个 即24和42 所以含因子a11a23的项分别是

( 1)ta11a23a32a44 ( 1)1a11a23a32a44 a11a23a32a44 ( 1)ta11a23a34a42 ( 1)2a11a23a34a42 a11a23a34a42 4 计算下列各行列式

41 (1)0125120211254

2 072024c2 c342 104

1 解 123202 104 1 10

2 122 ( 1)4 3 1401

1

7c4

7c30010

3 14 4 110c2 c39910

123 142 c00 2 0

1 2c31714

2 (2)31 114152203162 22

40 解 31 1211 c 4 c3 223 11402r4 r2252106

2215

220360

3

142221213240 0

r 4 r12

31 1142022030 0 00

(3) bdabacae

bf cfcd deef

解 bdabbf accfcdae deef adf bbb ccce

ee

1111

1 11 1 4abcdef

a1 (4) 001b 1001c 100 1d

a1 解 001b 1001c 10r1 ar201 ab0 1b10 1d00a

1c 100 1d

aba0c3 dc2 abaad

( 1)( 1)2 1 1c1 1c1 cd

0 1d0 10

5 证明:

abad abcd ab cd ad 1 ( 1)( 1)3 2 11 cd

a2abb2

(1)2aa b2b (a b)3;

111 证明

a2abb2c2 c1a2ab a2b2 a2

2aa b2b 2ab a2b 2a

00111c3 c11

222

ab ab aab a (a b)3 (b a)(b a)1 ( 1)2b a2b 2a

3 1

ax byay bzaz bxxyz

(2)ay bzaz bxax by (a3 b3)yzx;

az bxax byay bzzxy 证明

ax byay bzaz bx

ay bzaz bxax by

az bxax byay bz

xay bzaz bxyay bzaz bx

ayaz bxax by bzaz bxax by

zax byay bzxax byay bzxay bzzyzaz bx

a2yaz bxx b2zxax by

zax byyxyay bzxyzyzx

a3yzx b3zxy

zxyxyzxyzxyz

a3yzx b3yzx

zxyzxyxyz

(a3 b3)yzx

zxy

a22b (3)2cd2 证明

(a 1)2(b 1)2(c 1)2(d 1)2(a 2)2(b 2)2(c 2)2(d 2)2(a 3)2(b 3)2

0; (c 3)2(d 3)2

a22b 2cd2(a 1)2(b 1)2(c 1)2(d 1)2(a 2)2(b 2)2(c 2)2(d 2)2(a 3)2

(b 3)2(c c c c c c得) (c 3)2433221(d 3)2

a22b c2d22a 12b 12c 12d 12a 32b 32c 32d 32a 5

2b 5(c c c c得) 2c 543322d 5

a22b c2d2 1a (4)a2a4

1bb2b4

2a 12b 12c 12d 11cc2c4

1d d2d4

22222

2 0 22

(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d); 证明 1a a2a4

1bb2b4

1cc2c4

1d d2d4

1110b ac ad a

0b(b a)c(c a)d(d a)

0b2(b2 a2)c2(c2 a2)d2(d2 a2)

111

cd (b a)(c a)(d a)b

222

(b a)c(c a)d(d a)

11

c bd b (b a)(c a)(d a)0

0c(c b)(c b a)d(d b)(d b a)

1 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(c 1b a)d(d b a) =(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d) x

(5)

0an

1x 0an 1

0 1 0an 2

0000

xn a1xn 1 an 1x an x 1a2x a1

证明 用数学归纳法证明

x 1 x2 ax a 命题成立 当n 2时 D2 a122x a1

假设对于(n 1)阶行列式命题成立 即 Dn 1 xn 1 a1 xn 2 an 2x an 1 则Dn按第一列展开 有 1

Dn xDn 1 an( 1)n 1 x

1

0 1 1

00 x

00 1

xD n 1 an xn a1xn 1 an 1x an 因此 对于n阶行列式命题成立

6 设n阶行列式D det(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90 、或依副对角线翻转 依次得

an1 anna1n annann a1n

D1 D2 D3

a11 a1na11 an1an1 a11证明D1 D2 ( 1)

n(n 1)

2

D D3 D

证明 因为D det(aij) 所以 a11

an1 ann

D1 ( 1)n 1an1

a11 a1n

a21

a1nann a2n

a11a21

( 1)n 1( 1)n 2an1

a31

a1na2n

ann a3n

n(n 1)2

( 1)1 2 (n 2) (n 1)D ( 1) 同理可证 D2 ( 1) D3 ( 1)

n(n 1)112

D

a an1n(n 1)n(n 1)

T

( 1)2D ( 1)2D a1n ann

n(n 1)2

n(n 1)2

D2 ( 1)

( 1)

n(n 1)2

D ( 1)n(n 1)D D

7 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式) (1)Dn 都是0 解

a1

1a

, 其中对角线上元素都是a 未写出的元素

a0

Dn 0

010a0 0000a 0000a 0

000 a0000 a

10

0(按第n行展开) 0a

1

a0

( 1)2n a 0

a(n …… 此处隐藏：4006字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……