导数及其应用章末归纳提升课件新人教A版选修

来源：网络收集时间：2026-08-15

导读：导数的运算与导数的几何意义导数的运算，要熟练掌握基本导数公式和运算法则.由于函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)就是曲线 y=f(x)在点 P(x0, f(x0))处的切线的斜率，其切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 因此关于曲线的切线问题可尝试导数的方法解

导数的运算与导数的几何意义

导数的运算，要熟练掌握基本导数公式和运算法则.由于函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)就是曲线 y=f(x)在点 P(x0, f(x0))处的切线的斜率，其切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 因此关于曲线的切线问题可尝试导数的方法解决.

设抛物线 C1:y1=x2-2x+2 与抛物线 C2:y2=- x2+ax+b 在它们的一个公共点处的切线互相垂直. (1)求 a、b 之间的关系； (2)若 a>0,b>0,求 ab 的最大值.【思路点拨】结合导数的几何意义求公共点处的导数即

为斜率，由已知斜率互为负倒数进而推知 a、b 的关系式.

′ 【规范解答】 (1)依题意 y′ = 2 x - 2 , y 1 2 =-2x+a,设它

们的公共点为 P(x0,y0),因为在 P 点切线互相垂直. ∴(2x0-2)(-2x0+a)=-1,2 即 4x0 -2(a+2)x0+2a-1=0,

①

则 Δ=4[(a-2)2+4]>0.2 又∵y0=x2 0-2x0+2,且 y0=-x0+ax0+b, 2 相减得：2x0 -(a+2)x0+2-b=0,

②

由有①②消去 x0 得：2b+2a=5, 5 即 a+b= . 2

(2)由(1)得

a+b 2 5 2 25 ab≤ = = , 16 4 2

5 当且仅当 a=b=4时上式取等号， 25 ∴ab 的最大值为16.

已知函数 f(x)=x3+x-16. (1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程； (2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标.

【解】 (1)点(2,-6)在曲线 y=f(x)上. ∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1, ∴f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为 k=f′(2)=13. ∴切线的方程为 y=13(x-2)+(-6), 即 y=13x-32.

(2)设切点为(x0,y0),则直线 l 的斜率为 f′(x0)=3x2 0+1,∴直线 l 的方程为3 y=(3x2 0+1)(x-x0)+x0+x0-16,

又∵直线 l 过点(0,0),3 ∴0=(3x2 + 1)( - x ) + x 0 0 0+x0-16, 3 整理得，x0 =-8,∴x0=-2,

∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26, k=3×(-2)2+1=13, ∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26).

利用导数研究函数的性质

把导数作为数学工具，求解单调区间，研究函数的极大(小) 值，以及求在闭区间[a,b]的最大(小)值是本章的重点. 利用导数求函数的单调性是基础，求极值是关键，学习时一定要熟练它们的求解方法.

1.利用导数求可导函数的单调区间的一般步骤 (1)确定函数 y=f(x)的定义域； (2)求 f′(x); (3)解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0; (4)不等式的解集与定义域取交集； (5)确定并写出函数的单调递增区间或单调递减区间.

2.应用导数求函数极值的一般步骤 (1)确定函数 f(x)的定义域； (2)求方程 f′(x)=0 的根； (3)检验 f′(x)=0 的根的两侧 f′(x)的符号. 若左正右负，则 f(x)的此根处取得极大值；若左负右

正，则 f(x)在此根处取得极小值；否则，此根不是 f(x)的极值点.

3 已知 a、b 为常数且 a>0,f(x)=x + (1-a)x2- 23

3ax+b. (1)函数 f(x)的极大值为 2,求 a、b 间的关系式； (2)函数 f(x)的极大值为 2,且在区间[0,3]上的最小值为- 23 2 ,求 a、b 的值.【思路点拨】利用导数求极值与最值的方法解参数的值.

【规范解答】 (1)f′(x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x-a)(x+ 1), 令 f′(x)=0,解得 x1=-1,x2=a,因为 a>0,所以 x1< x2. 当 x 变化时，f′(x),f(x)的变化状态见下表：

(-∞,-1)

f′(x)f ( x)

+

-1 0 极大值

(-1,a)

(a,+∞)

-

0极小值

+

所以当 x=-1 时，f(x)有极大值 2,即 3a+2b=3.

(2)当 0<a<3 时，由(1)知， f(x)在[0, a)上为减函数，在(a,3] 上为增函数， 1 3 3 2 所以 f(a)为最小值，f(a)=- a - a +b. 2 2 3-3a 1 3 3 2 23 即-2a -2a +b=- 2 ,又由 b= 2 . 于是有 a3+3a2+3a-26=0,即(a+1)3=27,a=2,b=- 3 2.

设函数 f(x)=x3-3ax2+3bx 的图象与直线 12x+y-1=0 相切于点(1,-11). (1)求 a,b 的值； (2)讨论函数的单调性.

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