线性代数 同济大学1-4

线性代数 同济大学

§4

对 换

一、对换的定义

二、对换与排列的奇偶性的关系三、小结 思考题

up

down

线性代数 同济大学

一、对换的定义定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余 元素不动，这种作出新排列的手续叫做 对换. 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换.

例如

a1 a l a b b1 bm

a1 ala b1 bm b c1 cn

a1 a l b a a b1 bm

a1 al b b1 bma a c1 cnup down2

线性代数 同济大学

二、对换与排列的奇偶性的关系定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性. 证明 先考虑相邻对换的情形，设排列为对换a与b

a1 al ab b1 bm

a1 al ba b1 bm

除a,b 外，其它元素的逆序数不改变. 当a b 时，对换后排列的逆序数增加1。当a b 时，对换后排列的逆序数减少1。 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.up down3

线性代数 同济大学

对于一般情形设排列为 a1 al a b 1 bmb c1 cn

m 次相邻对换

a1 al abb1 bmc1 cn

m 1 次相邻对换 a1 al b b1 bma c1 cn a1 alab1 bmbc1 cn,

2m 1次相邻对换 a1 albb1 bmac1 cn,所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.up down4

线性代数 同济大学

推论 证明

奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的

变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此 知推论成立.

up

down

线性代数 同济大学

对于n阶行列式的任意一项为( 1)ta1p1 aipi a jpj anpn

t为排列p1 …pi …pj … pn的逆序数，对换 aipi 与a jp j( 1)ta1p1 a jp j aipi anpn

这时,行标 1 …i …j …n

1 …j …i…n

r

列标p1 …pi …pj … pnt1 ( 1) t ( 1) ( 1) r t1

p1 …pj …pi… pn t1

故

( 1)ta1p1 aipi ajpj anpn ( 1) r t1 a1p1 a jp j aipi anpnup down6

线性代数 同济大学

定理2

n阶行列式也可定义为D

1 ta p q a p q1 1

2 2

a pnqn

其中 p1p2 pn,q1q2 qn 是两个n 级排列，为行 t 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 定理3

n阶行列式也可定义为t

其中t为行标排列 p1p2 pn 的逆序数.

up

down

线性代数 同济大学

例1 试判断 a14a23a31a42a56a65和 a32a43a14a51a25a66 是否都是六阶行列式中的项. 解 a14a23a31a42a56a65 下标的逆序数为t 431265 0 1 2 2 0 1 6

所以a14a23a31a42a56a65 是六阶行列式中的项. a32a43a14a51a25a66

即： a14a25a32a43a51a66t 452316 8

下标的逆序数为

所以 a32a43a14a51a25a66 不是六阶行列式中的项.up down8

线性代数 同济大学

例2 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.(1) a23a31a42a56a14a65; (2) a32a43a14a51a66a25.

解

(1) a23a31a42a56a14a65 a14a23a31a42a56a65,

431265的逆序数为

t 0 1 2 2 0 1 6,所以a23a31a42a56a14a65 前边应带正号.up down9

线性代数 同济大学

(2) a32a43a14a51a66a25

行标排列341562的逆序数为 t 0 0 2 0

0 4 6 列标排列234165的逆序数为

t 0 0 0 3 0 1 4所以a32a43a14a51a66a25 前边应带正号.

up

down

线性代数 同济大学

例3 用行列式的定义计算

0 0 Dn n 1 0

0 0

0 2

1 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 n

up

down

线性代数 同济大学

0 0 0 0 Dn n 1 0 0 0

0 2 0 0

1 0 0 0

0 0 0 n

解

Dn 1 ta1,n 1a2,n 2 an 1,1annt t

t n 1 n 2 21n

n 2 n 3 2 1

n 1 n 2 2

Dn 1

n 1 n 2 2

n!.up down12

线性代数 同济大学

三、小结1. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性. 2.行列式的三种表示方法t

t

t

其中 p1p2 pn,q1q2 qn 是两个n 级排列， 为行 t 标排列逆序数与列标排列逆序数的和.up down13

线性代数 同济大学

思考题证明 在全部 n 阶排列中 n 2 ,奇偶排列各占 一半.

up

down

线性代数 同济大学

思考题解答证 设在全部 n 阶排列中有 s个奇排列, t 个偶 排列,现来证 s t . 将s个奇排列的前两个数对换,则这s个奇排 列全变成偶排列,并且它们彼此不同,所以 s t.

若将t个偶排列的前两个数对换,则这t个偶排列 全变成奇排列,并且它们彼此不同,于是有 t s. 故必有s t.

up

down