柯西不等式习题

柯西不等式

一、二维形式的柯西不等式

(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2(a,b,c,d R,当且仅当ad bc时,等号成立.) 二、二维形式的柯西不等式的变式

(1)a2 b2 c2 d2 ac bd(a,b,c,d R,当且仅当ad bc时,等号成立.) (2)a2 b2 c2 d2 ac bd(a,b,c,d R,当且仅当ad bc时,等号成立.)

(3)(a b)(c d) (ac bd)2(a,b,c,d 0,当且仅当ad bc时，等号成立.)

三、二维形式的柯西不等式的向量形式

(当且仅当 是零向量,或存在实数k,使 k 时,等号成立.)

（1）巧拆常数：

例1：设a、b、c为正数且各不相等。求证：

2a b 2b c 29

c a a b c

（2）重新安排某些项的次序：

例2：a、b为非负数，a+b=1，x1,x2 R 求证：(ax1 bx2)(bx1 ax2) x1x2 （3）改变结构：

例3、若a>b>c 求证：11a b b c 4

a c

（4）添项：

例4：a,b,c R 求证：

abc3

b c c a a b 2 【1】、设a ( 2,1,2), b 6，则a b

之最小值为________；此时b ________。

答案： 18; (4, 2, 4) 解析：a b a b ∴a b 18 ∴ 18 a b

18 a b 之最小值为 18，此时b

2a

(4, 2, 4) 【2】 设a (1，0， 2)，b (x，y，z)，若x2 y2 z2

16，则a b 的最大值为 。【解】

∵ a (1，0， 2)，b (x，y，z) ∴ a

．b x 2z 由柯西不等式[12 0 ( 2)2](x2 y2 z2) (x 0 2z)2

5 16 (x 2z)2 45 x 45

4 a ．b 45，故a

．b 的最大值为45

【3】设a、b、c为正数，求(a b c)(4936

a b c

)的最小值。Ans：121

【4】. 设x，y，z R，且满足x2 y2 z2 5，则x 2y 3z之最大值为

解(x 2y 3z)2 (x2 y2 z2)(12 22 32) 5．14 70

70

【5】 设x，y，z R，若x2 y2 z2 4，则x 2y 2z之最小值为 时，(x，y，z) 解(x 2y 2z)2 (x2 y2 z2)[12 ( 2) 2 22] 4*9 36

xyz 6 2

∴ x 2y 2z最小值为 6

此时 2

1 222 ( 2)2 223

∴ x 2y 3z最大值为

∴ x

24 4

，y ，z

333

【6】、设x, y, z R, x2 y2 z2 25，试求x 2y 2z的最大值与最小值。

答：根据柯西不等式

(1 x 2 y 2 z)2 [12 ( 2)2 22](x2 y2 z2)

2

即(x 2y 2z) 9 25 而有 15 x 2y 2z 15

故x 2y 2z的最大值为15，最小值为–15。 【7】、设x, y, z R, 2x y 2z 6，试求x2 y2 z2之最小值。 答案：考虑以下两组向量

2 2

u = ( 2, –1, –2) v =( x, y, z ) 根据柯西不等式(u v)2 u v，就有

[2x ( 1)y ( 2)z]2 [22 ( 1)2 ( 2)2](x2 y2 z2)即

(2x y 2z)2 9(x2 y2 z2) 将2x y 2z 6代入其中，得 36 9(x2 y2 z2) 而有 x2 y2 z2 4 故x2 y2 z2之最小值为4。

【8】 设x，y，z R，2x 2y z 8 0，则(x 1)2 (y 2)2 (z 3)2之最小值为

解： 2x 2y z 8 0 2(x 1) 2(y 2) (z 3) 9，

考虑以下两组向量

2 2

u = ( , , ) ，v =( , , ) (u v)2 u v

[2(x 1) 2(y 2) (z 3)]2 [(x 1)2 (y 2) 2 (z 3) 2]．(22 22 12) (x 1) (y 2) (z 3)

2

2

2

( 9)2

9

9

【9】设x, y, z R，若2x 3y z 3，则x2 (y 1)2 z2之最小值为________，又此时y ________。 解： 2x 3y z 3 2x 3(y 1) z ( )，

考虑以下两组向量

u = ( , , ) ，v =( , , )

1836

解析：[x2 (y 1)2 z2][22 ( 3)2 12] (2x 3y 3 z)2[x2 (y 1)2 z2] ∴最小值

714

xy 1z t , 2x 3y z 3, 2t(2 )t 3( 3t 1) 32 31

32

∴t ∴y

77

【10】 设a，b，c均为正数且a b c 9，则

4916

之最小值为abc

解：考虑以下两组向量

u = ( , , ) ，v =( , , )

4916234 2 2

(u v)2 u v ( a b )2 ( )(a b c)

abcabc

4916

( )．9 (2 3 4)2 81

abc491681

9

abc9

123

【11】、设a, b, c均为正数，且a 2b 3c 2，则 之最小值为________，此时a ________。

abc

解：考虑以下两组向量

u = ( , , ) ，v =( , , )

123 2 2

(u v)2 u v [(a)2 (2b)2 (3c)2)2 ()2 ()2] (1 2 3)2

abc

123

∴( ) 18，最小值为18 等号发生于 u//v 故

abc

a1a

2b2b

c3c

∴a b c 又a 2b 3c 2 ∴a

1 3

【12】. 空间中一向量a与x轴，y轴，z轴正向之夹角依次为 ， ， （ ， ， 均非轴线角），

149

求2 的最小值。 22

sin sin sin

解 : 由柯西不等式

(

122232

) () ()](sin2 sin2 sin2 ) sin sin sin

123

sin sin sin )2 sin sin sin

1492222

) () ()](sin sin sin ) (1 2 3) 222

sin sin sin

149149

) 36 ( ) 18

sin2 sin2 sin2 sin2 sin2 sin2

(

∵ sin2 sin2 sin2 2 ∴ 2(∴

149

的最小值 18 222

sin sin sin

【13】、设x, y, z R，若(x 1)2 (y 2)2 z2 4，则3x y 2z之范围为何？又3x y 2z发生最

小值时，x ？

答案：[(x 1)2 (y 2)2 z2][32 ( 1)2 ( 2)2] (3x 3 y 2 2z)2

4(14) (3x y 2z 5)2

2 3x y 2z 5 2

5 2 3x y 2z 5 2x 1y 2z

t∴3(3t 1) ( t 2) 2( 2t) 5 2 若3x y 2z 5 2又3 1 2

3∴t ∴x 1

77

(x 1)2(y 2)2(z 3)2

1，求x y z之最大值，最小值。 【24】. 设x，y，z R且

1654

Ans 最大值7；最小值 3

【解】

(x 1)2(y 2)2(z 3)2

1 ∵

1654

由柯西不等式知

x 12y 22z 32

[42 ()2 22] () () ()

42

2

x 1y 2 4．() 5．() 2． 4

z 3

() 25 1 (x y z 2)2 5 |x y z 2| 2 5 x y z 2 5 ∴ 3 x y z 7 故x y z之最大值为7，最小值为 3

【15】. 求2sin 3cos sin cos cos 的最大值与最小值。

答. 最大值为22，最小值为 22

【详解】

令向量a (2sin ，cos ， cos )，b (1，sin ，cos )

由柯西不等式 |a．b| |a||b|得

| 2sin cos sin cos cos | 4sin2 3cos2 cos2 ，

sin2 cos2 4(sin2 cos2 )(1 sin2 cos2 ) 22

所求最大值为22，最小值为 22

【16】△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：

(a2 b2 c2)(

1112

) 36R证明：由三角形 …… 此处隐藏：2893字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……