2012届高三数学复习课件(广东文)第2章第3节__函数的单调性

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1.下列函数中，在区间 0, 2 上为增函数的是 B A.y=-x+1 C. y=x 2-4 x+5 B.y= x 2 D.y= x

解析：以上函数在 0, 2 上的单调性依次为 A递减；B递增；C递减；D递减.

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2.设函数f x =log a x (a 0,且a 1)在(- , 上单调 0) 递增，则f (a+1)与f 2 的大小关系是 A.f (a+1)=f 2 C.f (a+1)<f 2 B.f (a+1)>f 2 D.不能确定B

解析：易知y= x 在(- , 上是减函数.又已知f x 0) 在(- , 上单调递增，故0<a<1,从而1<a+1<2. 0) 又因为f x 是偶函数，所以f x 在(0,+ )上单调 递减.所以f (a+1)>f 2 .

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1 3.函数f x = | x -1| + x的单调递增区间为[1, 2 ],[1,+ ) .2

解析： x 1或x -1时，y=x 2+x-1 当 1 2 5 =( x+ ) - .当-1 x 1时， 2 4 1 2 5 2 y=-x +x+1=-( x- ) + . 2 4 作出函数f x 的图象(如图), 可以知道函数f x 的 1 单调递增区间为[-1, ], + ). [1, 2

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(3 - a) x 4a ( x 1) 4.已知f x = 是R上的增函数， ( x 1) log a x 那么实数a的取值范围是 1, 3 .

a 1 解析： 由题意知 3 a 0 ,解得1<a<3. 3 5a 0

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a 5.若函数f x =-x +2ax与g x = 在区间 1, 2 上 x 1 都是减函数，则a的取值范围是 (0,1] .2

解析： x =-x +2ax=-( x-a ) +a 在区间 1, 2 f2 2 2

上是减函数，则a 1; a g x = 在 1, 2 上是减函数，则a 0. x 1 综合得a 0,1 .

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函数单调性的判断与证明

解析： 法1:定义法：函数f x 的定义域为(- , (0,+ ). 方 0)

a 例题1 讨论函数f x =x+ a 0 的单调性. : x

1 当x 0时，设0 x1 x2,a a x2 - x1 则f x2 -f x1 =x2+ -x1- ( x1 x2-a ). x2 x1 x1 x2 于是当0 x1 x2 a时，x1 x2 a,则f x2 f x1 . 所以f x 在(0,a ]上是减函数； 当 x1 x2时，x1 x2 a,则f x2 f x1 . 所以f x 在[ a,+ )上是增函数.

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2 当x 0时，设x1 x2 0.a 1 x2 x1 则f x2 -f x1 =x2+ -x1- = ( x1 x2-a ). x2 x1 x1 x2 于是当- a x1 x2 0时，x1 x2 a,则f x2 f x1 . 所以f x 在[- a, 上是减函数； 0) 当x1 x2 - a时，x1 x2 a,则f x2 f x1 . 所以f x 在(- ,- a ]上是增函数. 综上，函数f ( x)在[- a , 0), (0, a ]上是减函数， 在(- ,- a ], [ a ,+ )上是增函数. (由于函数是奇函数，其实只需讨论x 0的情况即可. )

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a 方法2:导数法：当x 0时，f x =1

- 2 . x 令f x 0,得a x 2,则x a . 于是f x 在[ a,+ )上是增函数；同理可得f x 在(0, ] 上是减函数. 当x 0时，由奇函数的性质知函数f x 在(- ,- a ] 上是增函数，在[- a, 上是减函数. 0) 综上，函数f x 在[- a,, a )上是减函数， 0) (0, 在(- ,- a ], a,+ )上是增函数. [

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反思小结：研究函数的单调性一般有两种方法，即定义 法和导数法.定义法是基础，掌握定义法的关键是作差 ( f x2 -f x1 ),运算的结果可以判断正、负.本题判断 正、负的依据是代数式“ x1 x2-a ”,处理这个代数式的符 号是一个难点，要有一定的数学功底作基础.把x1、x2看 成自变量，则转化为判断“ x 2-a ”的符号，于是转化为判 断 " x a "的符号，自然过渡到x= a是函数单调区间的 分界点.第二种方法是导数法.导数是研究函数图象上 某点的切线斜率的变化大小的，当某点的导数为0时，斜 率为0,所以导数为0是函数单调区间的分界点，用导数法 可以克服推理运算中的难点.掌握导数法在函数单调性 研究中的运用，能收到事半功倍的效果.

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a x 1 b x 1 拓展练习：判断函数f x = x (a, b 0, a b)的单调性. x a bb x a +b a . 解析：原函数化为f x = b 1+ x a b a b c x 设 =c,得f x = ,且c>0且c 1. x a 1 c a b c x2 a b c x1 a 1 c c x1 c x2 设x1<x2,则f x2 -f x1 = - = . x2 x1 x1 x2 1 c 1 c 1 c 1 c 因为当c>1时，c x2>c x1,则(1-c)(c x1-c x2 ) 0; 当0<c<1时，c x1>c x2,则(1-c)(c x1-c x2 )>0.

所以不论c>1还是0<c<1,恒有f x2 >f x1 .故f x 是R上的增函数.

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复合函数的单调区间

例题2: 求函数f x =log 1 (4 3x - x2 )的单调区间.

2

解析：由4+3 x-x 2 0,得-1 x 4. 3 2 25 2 令u x =4+3 x-x =-( x- ) + , 则原函数化为y=log 1 u. 2 4 2

3 易知，当x (-1, ]时，u x 是增函数； 2 3 当x [ , 时，u x 是减函数. 4) 2 3 故当-1 x1 x2 时，因为u x 是增函数， 2 所以0 u x1 u x2 ,所以y1 y2;

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3 当 x1 x2 4时，因为u x 是减函数， 2 所以u x1 u x2 0,所以y1 y2 . 3 故函数f x =log 1 (4+3 x-x 2 )在(-1, ]上是减函数， 2 2

3 在[ , 4)上是增函数. 2

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反思小结：复合函数的单调区间的求解可分为四步： ①求函数的定义域； ②把复合函数分解成两个常见函数,本题中， u x =4+3x-x 2是二次函数,y=log 1 u是对

数函数；2

③分别求各函数的单调区间. 3 本题中,u x 的单调递减区间为[ ,, 4) 2 3 单调递增区间为(-1, ],y=log 1 u是(0,+ )上的减函数； 2 2 ④根据复合函数单调性的判断法则写出单调区间.

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拓展练习：求函数f x =log a (3-2x-x ) 0 a 1 2

的单调区间.解析： u=3-2x-x 2 0,则x (-3,1). 设 由于函数u的图象的对称轴为直线x=-1, 所以函数u在[-1,1)上是减函数，在(-3,-1]上是增函数. 又因为函数y=log a u 0 a 1 是减函数， 所以函数f x =log a (3-2x-x 2 ) 0 a 1 的单调递减区间为(-3,-1],单调递增区间是[-1,1).

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利用单调性讨论参数的值

例题3:若函数y=log 2 ( x -ax+3a)在[2,+ )2

上是增函数，求实数a的取值范围.解析：设u=x 2-ax+3a 0, a 则函数u在[ ,+ )上是增函数. 2 又y=log 2 u是增函数，根据复合函数的单调性， 要使函数y=log 2 ( x 2-ax+3a )在[2,+ )上是增函数，