(新课标)2018届高考数学二轮复习 专题八 选修系列 专题能力训练2

(新课标)2018届高考数学二轮复习 专题八 选修系列 专题能力训练23 不等式选讲 理

专题能力训练23 不等式选讲

能力突破训练

1.设a>0,|x-1|<,|y-2|<,求证:|2x+y-4|<a.

2.已知函数f(x)=|x-1|+|x+3|,x∈R.

(1)解不等式f(x)≤5;

(2)若不等式t2+3t>f(x)在x∈R上有解,求实数t的取值范围.

3.设函数f(x)=+|x-a|(a>0).

(1)证明:f(x)≥2;

(2)若f(3)<5,求a的取值范围.

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4.已知关于x的不等式m-|x-2|≥1,其解集为[0,4].

(1)求m的值;

(2)若a,b均为正实数,且满足a+b=m,求a2+b2的最小值.

5.已知函数f(x)=,M为不等式f(x)<2的解集.

(1)求M;

(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.

6.设关于x的不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4的解集为A. (1)若a=1,求A;

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(2)若A=R,求a的取值范围.

7.已知函数f(x)=|2x-1|+|x-a|,a∈R.

(1)当a=3时,解不等式f(x)≤4;

(2)若f(x)=|x-1+a|,求x的取值范围.

思维提升训练

8.已知函数f(x)=g(x)=af(x)-|x-2|,a∈R.

(1)当a=0时,若g(x)≤|x-1|+b对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数b的取值范围;

(2)当a=1时,求函数y=g(x)的最小值.

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9.已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|.

(1)当a=2时,解不等式f(x)≤-;

(2)若存在实数a,使得不等式f(x)≥a成立,求实数a的取值范围.

10.设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.

(1)若a=-1,解不等式f(x)≥3;

(2)如果?x∈R,f(x)≥2,求a的取值范围.

参考答案

专题能力训练23不等式选讲(选修4—5)

能力突破训练

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1.证明因为|x-1|<,|y-2|<,

所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|

≤2|x-1|+|y-2|<2=a.

2.解(1)原不等式等价于

得-x<-3或-3≤x≤1或1<x,

因此不等式的解集为

(2)∵f(x)=|x-1|+|x+3|≥|x-1-(x+3)|=4,要使t2+3t>f(x)在x∈R上有解,只需t2+3t大于f(x)的最小值,∴t2+3t>[f(x)]min=4?t2+3t-4>0?t<-4或t>1.

3.(1)证明由a>0,有f(x)=+|x-a|+a≥2.故f(x)≥2.

(2)解f(3)=+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+,由f(3)<5,得3<a<

当0<a≤3时,f(3)=6-a+,

由f(3)<5,得<a≤3.

综上,a的取值范围是

4.解(1)不等式m-|x-2|≥1可化为|x-2|≤m-1,

∴1-m≤x-2≤m-1,即3-m≤x≤m+1.

∵其解集为[0,4],m=3.

(2)由(1)知a+b=3.

(方法一:利用基本不等式)

∵(a+b)2=a2+b2+2ab≤(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),∴a2+b2,当且仅当a=b=时取等号,∴a2+b2的最小值为

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(方法二:消元法求二次函数的最值)

∵a+b=3,∴b=3-a,

∴a2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2,∴a2+b2的最小值为5.(1)解f(x)=

当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;

当-<x<时,f(x)<2;

当x时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1.

所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.

(2)证明由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,

从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1

=(a2-1)(1-b2)<0.

因此|a+b|<|1+ab|.

6.解(1)当x时,2x-1+x+3≥2x+4,解得x≥2.

当-3<x<时,1-2x+x+3≥2x+4,解得-3<x≤0.

当x≤-3时,1-2x-x-3≥2x+4,解得x≤-3.

综上,原不等式的解集A={x|x≤0或x≥2}.

(2)当x≤-2时,|2x-a|+|x+3|≥0≥2x+4成立.

当x>-2时,|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+3≥2x+4,即|2x-a|≥x+1, 得x≥a+1或x,

所以a+1≤-2或a+1,得a≤-2.

综上,a的取值范围为a≤-2.

7.解(1)当a=3时,函数f(x)=|2x-1|+|x-3|=

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如图,由于直线y=4和函数f(x)的图象交于点(0,4),(2,4),

故不等式f(x)≤4的解集为(0,2).

(2)由f(x)=|x-1+a|,可得|2x-1|+|x-a|=|x-1+a|.

由于|2x-1|+|x-a|≥|(2x-1)-(x-a)|=|x-1+a|,

当且仅当(2x-1)(x-a)≤0时取等号,

故有(2x-1)(x-a)≤0.

当a=时,可得x=,故x的取值范围为;

当a>时,可得x≤a,故x的取值范围为;

当a<时,可得a≤x,故x的取值范围为

思维提升训练

8.解(1)当a=0时,g(x)=-|x-2|(x>0),

g(x)≤|x-1|+b?-b≤|x-1|+|x-2|.

|x-1|+|x-2|≥|(x-1)-(x-2)|=1,

当且仅当1≤x≤2时等号成立.

故实数b的取值范围是[-1,+∞).

(2)当a=1时,g(x)=

当0<x<1时,g(x)=+x-2>2-2=0;

当x≥1时,g(x)≥0,当且仅当x=1时等号成立;

故当x=1时,函数y=g(x)取得最小值0.

9.解(1)∵a=2,

∴f(x)=|x-3|-|x-2|=

∴f(x)≤-等价于解得x<3或x≥3,∴不等式的解

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集为

(2)由不等式性质可知f(x)=|x-3|-|x-a|≤|(x-3)-(x-a)|=|a-3|,

∴若存在实数x,使得不等式f(x)≥a成立,则|a-3|≥a,解得a

∴实数a的取值范围是

10.解(1)当a=-1时,f(x)=|x-1|+|x+1|,

f(x)=

作出函数f(x)=|x-1|+|x+1|的图象.

由图象可知,不等式f(x)≥3的解集为

(2)若a=1,则f(x)=2|x-1|,不满足题设条件;

若a<1,则f(x)=

f(x)的最小值为1-a;

若a>1,则f(x)=

f(x)的最小值为a-1.

故对于?x∈R,f(x)≥2的充要条件是|a-1|≥2,a的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).