平方差公式的应用

简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注

平方差公式的应用

马吉超

公式(a b)(a b) a2 b2中的a，b可以是具体数，也可以是单项式、多项式或其它代数式。有些形式上不符合公式特点的，可以根据题目特点，灵活变形，巧妙应用公式。

例1 计算：

（1）(2a 3b)(3b 2a)；

（2）( x 2y)(x 2y)；

1 1(2a 2b)a b ； （3）2 2

（4）(a b c)(a b c)；

（5）(ab 1)2 (ab 1)2。

分析：（1）注意本题中“3b”位置上的特点，可以先调整其位置，再应用公式计算。

(2a 3b)(3b 2a) (3b 2a)(3b 2a)

(3b)2 (2a)2 9b2 4a2

（2）注意本题中的符号特点，可以先变化符号再计算。

( x 2y)(x 2y) (x 2y)(x 2y)

(x2 4y2)

x2 4y2

（3）注意本题的系数特点，可以先变化系数再计算。

1 1(2a 2b) a b 2 2

1 2(a b) (a b) 2

(a b)(a b)

a2 b2

（4）题目中的项比较多，不妨先观察各项符号的变化规律，把符号相同的项结合，符号相反的项结合，再计算。

简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注

(a b c)(a b c)

[a (b c)][a (b c)]

a2 (b c)2

a2 b2 2bc c2

（5）逆用平方差公式，可使计算更简便。

(ab 1)2 (ab 1)2

(ab 1 ab 1)(ab 1 ab 1)

2ab 2 4ab

在一些数字计算中，也可用平方差公式。

例2 计算：

（1）1999×2001；

（2）39 40；

（3）20073 2006 2007 2008；

（4）1002 992 982 972 22 12。

解：（1）1999 2001

(2000 1) (2000 1) 20002 1

39999991323

（2）391 402 (40 2)(40 2) 3333

402

5 1599949

（3）20073 2006 2007 2008

20073 2007 (2007 1) (2007 1)

20073 2007 (20072 1)

20073 20073 2007 2007

（4）1002 992 982 972 22 12

(100 99)(100 99) (98 97) (98 97) (2 1)(2 1)

100 99 98 97 2 1

(100 1) 100 50502

简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注

n2 m2 12 22 92 92，例3 设m，n为自然数，且满足：

求m，n的值。

分析：本题看上去似乎与平方差公式没有联系。但是将m2项移到等式的左边，就出现了平方差的形式。

解：由条件可知

n2 m2 12 22 92 92，

即(n m)(n m) 167。

而167是质数，只能分解成167×1，

又因为m，n为自然数，

所以 n m 167 n m 1

解得m 83，n 84

例4 已知A (2 1)(22 1)(24 1)(28 1)(216 1)(232 1)(264 1)，求A的个位数字？

分析：注意到2的指数的变化规律，联想到平方差公式，而题目中只出现了两数的和，没有两数的差，不妨添上（2－1）这一项，构造出平方差的形式。

解：A (2 1)(22 1)(24 1)(28 1) (216 1)(232 1)(264 1)

(2 1)(2 1)(22 1)(24 1)(28 1) (216 1)(232 1)(264 1)

(22 1)(22 1)(24 1)(28 1)(216 1) (232 1)(264 1)

(24 1)(24 1)(28 1)(216 1)(232 1) (264 1)

=

2128 1。

22 4，23 8，24 16，25 32， ， 由21 2，

知2128的个位数字为6，

因此，A的个位数字为5。

简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注

例5 如图，2005个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最外面一层画阴影，最里面一层画阴影，最外面的正方形的边长为2005cm，向里依次为2004cm，2003cm， ，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？

分析：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差。而正方形的面积是其边长的平方，这样就可以逆用平方差公式计算了。（计算方法可参考例2第（4）题）

解：S阴影 (20052 20042) (20032 20022) (32 22) 1

2005 2004 2003 2002 3 2 1

2011015(cm2)

答：所有阴影部分的面积和是2011015cm2。