1.1-2 积分的概念

1.1-2

定积分的概念与性质

1.1-2 定积分的概念与性质

1.1

定积分问题举例

y y f ( x)A ?

1、实例1 (求曲边梯形的面积)

曲边梯形由连续曲线y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、x 轴与两条直线 x a 、

o a yy f ( x)

b x

x b 所围成.

A ?

o a

b x

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用矩形面积近似取代曲边梯形面积yy

o

a(四个小矩形)

b

x o

a

(九个小矩形)

b

x

显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积.

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(1)分割在 区 间[a , b] 内 插 入 若 干 个 分 点 ， a x0 x1 x 2 x n 1 x n b,

把 区 间[a , b] 分 成 n 个小区间 [ xi 1 , xi ], 长 度 为 xi xi xi 1 ;

y

Ai

o a

x1

x i 1 x i

xn 1b

x

直线 y xi ( i 1, 2, , n 1 ) ,把整个曲边梯形

分成 n 个小曲边梯形，其中第 i 个小曲边梯形的面积记为 A i ( i 1, 2, , n ) 。

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(2)近似

y

在每个小区间[ xi 1 , xi ] 上任取一点 i,第 i 个小曲边梯形

o a

x1

x i 1 i xi

xn 1 b

x

的面积可用以 [ xi 1 , xi ]为 底 ， f ( i ) 为 高 的

Ai f ( i ) xi 小矩形面积来近似，即(3)求和A f (ξ1 ) x1 f ( 2 ) x2 f (ξ i ) xi f (ξ n ) xnn

即 A f ( i ) xi 。i 1

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(4)取极限当分割无限加细 ,即 小 区 间 的 最 大 长 度

m ax{ x1 , x2 , xn }趋 近 于 零( 0) 时 ，

曲边梯形面积为 A lim f ( i ) xi 0 i 1

n

以上四个步骤可以概括为一句话： “分割取近似，求和取极限。”

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2、实例2 (求变速直线运动的路程)

设一物体作变速直线运动，已知速度 v v(t ) 是时间 t 的连续函数，且 v(t ) 0 ,求在时间间隔 [a , b]

上物体所经过的路程 s。思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细

分过程求得路程的精确值.

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(1)分割

a t0 t1 t 2 t n 1 t n b

t i t i t i 1(2)取近似 部分路程值n

si v( i ) t i某时刻的速度i 1

(3)求和

s v( i ) t in

(4)取极限 max{ t1 , t 2 , , t n } 路程的精确值 s lim v( i ) t i 0i 1

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上述两个实例，一个是几何学中的面积问题， 一个是物理学中的路程问题，尽管它们的实际意 义完全不同，但是从抽象的数量关系来看，它们 的分析结构形式完全一样，都

是 函数在区间上具 有特殊结构的和式的极限 ，对于这种和式的极限， 可以抽象出新的数学概念—— 定积分 。

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1.2

定积分的概念

1、定义 设函数 f ( x ) 在[a , b]上有界， 任取一组分点

a x 0 x1 x 2 x n 1 x n b把区间[a , b]分成 n 个小区间 [ xi 1 , xi ] (i 1,2, , n) ,

在各小区间上任取 一点 i [ xi 1 , xi ] ,作和式 S f ( i ) x i ,其中 xi xi xi 1 ,,i 1 n

记 max{ x1 , x 2 , , x n },

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如果不论 [a , b] 怎样分法及 i 如何 选取， 当 0 时， 和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x ) 在 [a, b] 上的 定积分，记作积分上限

b a

f ( x )dx ,即积分和n

f ( i ) x i a f ( x )dx I lim 0 i 1积分下限

b

被 积 函 数

被 积 表 达 式

积 分 变 量

[a , b] 积分区间

若定积分

b a

f ( x )dx 存在，则称 f ( x ) 在 [a , b] 上可积。

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定积分的定义是构造性的，本质上是一种特殊结构 的和式的极限。

曲边梯形的面积 A 是曲边函数 y f ( x ) 在区间 [a , b] 上的定积分： A f ( x )dx 。a b

变速直线运动的物体所经过的路程 s 是速度函数v v(t ) 在时间区间 [a , b] 上的定积分： s v(t )dt 。a b

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2 .定积 分定义的剖析1、积分 f ( x )dx 仅与被积函数 f ( x ) 和积分区间 [a , b]a b

有关，而与区间 [a , b] 的分法与 点 i 的取法无关。2、思考：定义中 0 ,能否改为“ n ” 。

3、定积分的值与积分变量无关，即

b a

f ( x )dx f (t )dt f (u)dua ab a a b

b

b

4、规定：当 a b 时， f ( x )dx f ( x )dx ;

当 a b 时， f ( x )dx 0 。a

a

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3 .三类可积函数 (即定积分的存在性)( 1) 若 f ( x ) C[a, b] ,则 f ( x ) R[a, b] 。反之未必。

(2)若 f ( x ) 在 [a , b] 上有界，且在 [a , b] 上除去有限个点外是连续的，则 f ( x ) 在 [a , b] 上可积。

推论： [a , b] 上的分段连续函数在 [a , b] 上可积。( 3)若 f ( x ) 在 [a, b] 上单调有界，则 f ( x ) R [a, b] 。( 4)若函数 g R[a, b] ,而函数 f 只在有限个点上与 g 的取值不同，则 f R[a, b] ,且 f ( x )dx g( x )dx 。a a b b

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例1 利用定义计算定积分

0

1

x 2dx.

解：∵ x 2 在[0, 1]上 连续，∴ x 2 在[0, 1]上 可积。

i 将[0,1] n等分，分点为 x i ,( i 1,2, , n ) n 1 小区间 [ xi 1 , xi ] 的长度 x i ,( i 1,2, , n ) n i 取 i xi , ( i

1,2, , n)n

f ( i ) xi i 1 i 1

n

n

i 1 i xi x xi n i 1 n i 12

n

2 i

n

2

1.1-2 定积分的概念与性质n 1 i 1 1 n( n 1)(2n 1) 2 i 3 3 n n i 1 n 6 i 1 n

n

2

1 1 1 1 2 , 6 n n

1 当 max x i 0 时，即 n ,有 1 i n n

0 x dx2

1

lim i xi2

n

0 i 1

1 1 1 1 lim 1 2 . n 6 n n 3