人教版高中数学课件 第三册：双曲线的标准方程

问题1:椭圆的定义是什么？ 平面内与两个定点 F1 , F 2 的距离的和等于常 数(大于 F1 F 2 )的点的轨迹叫做椭圆。 问题2:如果把上述定义中“距离的和”改为 “距离的差”那么点的轨迹会发生怎样的变 化？

平面内与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等 于常数2a (小于 F F ) 点的轨迹叫做双曲线。1 2

F1,F2 ---焦点 |F1F2| ---焦距(设为2c)

设常数||MF1| - |MF2|| = 2a注意：对于双曲线定义须抓住三点： 1、平面内的动点到两定点的 距离之差的绝对值是一个常数； 2、这个常数要小于|F1F2|; F1

M

F2

3、这个常数要是非零常数。

数学实验：[1]取一条拉链； [2]如图把它固定在板 上的两点F1、F2; [3] 拉动拉链(M)。 思考：拉链运动的轨迹 是什么？

思考：1、平面内与两定点的距离的差等于常数 2a(小于|F1F2| )的轨迹是什么？双曲线的一支

2、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于 常数(等于|F1F2| )的轨迹是什么？是在直线F1F2上且 以F1、F2为端点向外的两条射线

3、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于 常数(大于|F1F2| )的轨迹是什么？不存在

结论：M点轨迹是双曲线 1、当||MF1|-|MF2||= 2a<|F1F2|时，

其中当|MF1|-|MF2|= 2a时，M点轨迹是双曲线 中靠近F2的一支； 当|MF2| - |MF1|= 2a时，M点 轨迹是双曲线中靠近F1的一支.M点轨迹是在直 2、当 ||MF1|-|MF2||= 2a=|F1F2|时， 线F1F2上且以F1和F2为端点向外的两条射线。

3、当||MF1|-|MF2||= 2a >|F1F2|时,M点的轨迹不存在4、当||MF1|-|MF2||= 2a=0时，M点的轨迹是线段F1F2 的垂直平分线 。

y

如图建立直角坐标系xOy使x轴经过点 F1、F2且点O与线段F1、F2的中点重合. 设M(x,y)是双曲线上任意一点， |F1 F2| =2c,F1(-c,0),F2(c,0),又 设点M与F1,F2的距离的差的绝对值等 于常数2a. 由定义知 MF 1

M

F1

O

F2

x

M F1 M F 2 2 a

x c 2 y2

y , MF 2 2

x c 22

y ,2

x c 2

x c 2

y

2 a.

化简得： ( c a ) x a y2 2 2 2

2

a ( c a ).2 2 2

y

由双曲线定义知 2 c 2 a , 即 c a ,因此 c a 0 令 c a2 2

2

2

b ( b 0 ), 得2

M

b x a y2 2 2

2

a b ,2 2

F1

O

F2

x

x a

2 2

y b

2 2

1(a 0, b 0).

双曲线的标准方程. 说明: 1.焦点在x轴; 2.焦点F1(-c,0),F2(c,0);

3.a,b无大小关系;

4.c2=a2+b2 , c最大.

y

焦点在X 轴上的双曲线标准方程是:F1

x a

2 2

y b

2 2

1(a 0, b 0).

O

x

M

焦点在y 轴上的双曲线标准方程是:y a2 2

F2

x b

2 2

1(a 0, b 0).

定义 图象

M F1 M F 2 2 a,0 2 a F1 F 2

方程

x a

2 2

y b

2 2

1

y a

2 2

x b

2 2

1

焦点 a.b.c 的关系

F c, 0

F 0, c 2

c a b2 2

谁正谁对应 a

椭圆的标准方程：x ay a2 2

双曲线的标准方程：x a2 2

y b

2 2

1

a b 0 a b 0

y b

2 2

1(a 0, b 0).

2 2

x b

2 2

1

y a

2 2

x b

2 2

1(a 0, b 0).

相同点：1 .焦 点 坐 标 相 同 , 焦 距 相 等 ； 2 .焦 a , b , c 大 小 满 足 勾 股 定 理 .

不同点：1 .椭 圆 中 a 最 大 a b c , 在 双 曲 线 中 c 最 大 , c a b ;2 2 2 2 2 2

2 .椭 圆 方 程 中 " ", 双 曲 线 中 " " ;3 .判 断 焦 点 位 置 方 法 不 同 。

练 习 1 . 根 据 方 程 ， 写 出 焦 点 坐 标 及 a , b的 值 :(1 ) x2

y

2

1和 x 15 y2

2

15

25

9

焦点( 4,0), a 5, b 3

焦点( 4,0), a 15 , b 1

(2)

x

2

y

2

1和

y

2

x

2

1

4

3

3

4

焦点( 1,0), a 2, b

3

焦点(0, 7 ), a

3, b

2

例1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上 一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于8,求双曲线 的标准方程.练 习 2 .写 出 符 合 下 列 条 件 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 : (1) a 3, b 4 , 焦 点 在 x 轴 上

x

2

2

y

2

12

9( 2) c 5, b 3, 焦 点 在 x 轴 上 ( 3) 焦 点 为 0 , - 6 、 0 , 6 , a 3

16 y 1

x

16 y2

9 x2

1

9( 4 ) 焦 点 F1 5,) F 2 (5, 0 ), 双 曲 ( 0 ,

27

例 2 .求 适 合 下 列 条 件 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 ： (1) a 3, b 4 , 焦 点 在 x 轴 上 ； (2) a 2 5 , 经 过 点 A ( 2 , 5 ), 焦 点 在 y 轴 上 ；

练习3、已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线上两点P1 ,P2

的坐标分别为 3 , 4x2

, 9 ,5 ,求双曲线的标准方程. 2 42

练 习 4 .方 程

2 m

y

m 1

1表 示 双 曲 线 ， 求 m 的 范 围 .

(m 2)( m 1) 0 m 2或m 1

练习5 1. 方程mx2-my2=n中mn<0,则其表示焦点在 y 轴上的 双曲线 . 2、 若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲线是焦点在y轴上的 双曲线，则k (-1, 1)2

.

x 1 的焦点坐标是 3. 双曲线 k 4

y

2

(0, 4 k )

.

5. 双曲线 2 x 2 y 2 k 的焦距是6,则k= 6 .y x 6. 若方程 | k | 2 5 k 1 表示双曲线，求实数k的2 2

取值范围. -2<k<2或k>5